Свойства корня

Арифметический корень n-й степени (n > 0) из неотрицательного числа $\ a$ есть единственное неотрицательное решение $\ b$ уравнения $\ b^n = a$. Обозначается символом $\sqrt[n]{\ }$ (или просто $\sqrt{\ }$ при $\ n=2$): $b = \sqrt[n]{a}$. Арифметический корень 2-й степени называется квадратным корнем ^[1], а корень 3-й степени — кубическим корнем^[2]

Свойства

• $\sqrt[n]{0} = 0; \qquad \sqrt[n]{1} = 1;$

• $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b}, \qquad a, \ b \ge 0;$

• $\sqrt [n] {a^n}=a, a \geqslant 0$
• $\forall a\geqslant 0,b>0 \qquad \sqrt [n] {\frac {a} {b}}=\frac {\sqrt [n] {a}} {\sqrt [n] {b}}$

• $\sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m = \left(a^{1/n}\right)^m = a^{m/n}.$

• $\sqrt [nk] {a^{mk}}=\sqrt [n] {a^m}, \qquad a>0,n \in \mathbb N$

• $\forall a\geqslant 0,\qquad n,k \in \mathbb N \qquad \sqrt [n] {\sqrt [k] {a}}=\sqrt [nk] {a}$
• Арифметический корень может быть разложен в ряд Тейлора по формуле

  $(1+x)^{s/t} = \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{\displaystyle\prod_{k=0}^n (s+t-kt)}{(s+t)n!\,t^n}x^n\right),$

где $\ |x|<1$.

См. также

• Квадратный корень
• Кубический корень

Примечания

1. ↑ Г.Корн, Т.Корн. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). М., 1974 г., п. 1.2.1
2. ↑ М. И. Сканави. Элементарная математика. п.1.11, срт.49.