Самосопряженная матрица

Эрми́това (или самосопряжённая) ма́трица — квадратная матрица, элементы которой являются комплексными числами, и которая, будучи транспонирована, равна комплексно сопряжённой: $\!A^T=A^*$. То есть справедливо равенство

$a_{ij}=a^*_{ji},$

или

$\!(A^*)^T=A^+=A,$

где $\!{}^+$ — оператор эрмитового сопряжения.

Например, матрица

$\begin{bmatrix}3&2+i\\2-i&1\end{bmatrix}$

является эрмитовой.

Соответственно, антиэрмитовой матрицей называют квадратную матрицу, элементы которой удовлетворяют равенству $\!a_{ij}=-a^*_{ji}$, или $\!A^+=-A$.

Основные свойства

Эрмитова матрица является нормальной.

Диагональные элементы эрмитовой матрицы вещественны.

Вещественная эрмитова матрица (то есть та, все элементы которой — вещественные числа) является симметричной:

Определитель эрмитовой матрицы — вещественное число.

Сумма двух эрмитовых матриц является эрмитовой.

Обратная к эрмитовой матрица также эрмитова, если существует.

Произведение двух эрмитовых матриц является эрмитовым тогда и только тогда, когда они коммутируют друг с другом, то есть если $\!AB=BA$.

У эрмитовой матрицы все собственные значения вещественны, а собственные векторы могут быть собраны в ортонормированную систему.

Жорданова форма эрмитовой матрицы диагональна.

Дополнительные свойства

• Сумма любой квадратной матрицы и эрмитово сопряжённой $\!(A+A^+)$ — также эрмитова матрица.
• Разность любой квадратной матрицы и эрмитово сопряжённой $\!(A-A^+)$ является антиэрмитовой. То есть, если $\!C=A-A^+$, то $\!C^+=-C$.
• Любую квадратную матрицу можно представить как сумму некоторых эрмитовой и антиэрмитовой матриц:

$\!A=H+C$, где $\!H=\frac{1}{2}(A+A^+)$ и $\!C=\frac{1}{2}(A-A^+)$.

См. также

• Эрмитов оператор
• Унитарная матрица