Расстояние Хэмминга

Расстояние Хэмминга — число позиций, в которых соответствующие символы двух слов одинаковой длины различны^[1]. В более общем случае расстояние Хэмминга применяется для строк одинаковой длины любых q-ичных алфавитов и служит метрикой различия (функцией, определяющей расстояние в метрическом пространстве) объектов одинаковой размерности.

Первоначально метрика была сформулирована Ричардом Хэммингом во время его работы в Bell Labs для определения меры различия между кодовыми комбинациями (двоичными векторами) в векторном пространстве кодовых последовательностей, в этом случае расстоянием Хэмминга $d(x, y)$ между двумя двоичными последовательностями (векторами) $x$ и $y$ длины $n$ называется число позиций, в которых они различны — в такой формулировке расстояние Хэмминга вошло в словарь алгоритмов и структур данных национального института стандартов и технологий США (англ. NIST Dictionary of Algorithms and Data Structures). Расстояние Хэмминга является частным случаем метрики Минковского:

$d_{ij} = \sum_{k=1}^p \left | x_{ik} - x_{jk} \right |$.

Примеры

• $d(10{\color{Blue}1}1{\color{Blue}1}01, 10{\color{Red}0}1{\color{Red}0}01)=2$
• $d(2{\color{Blue}17}3{\color{Blue}8}96, 2{\color{Red}23}3{\color{Red}7}96)=3$
• $d({\color{Blue}t}o{\color{Blue}n}e{\color{Blue}d}, {\color{Red}r}o{\color{Red}s}e{\color{Red}s})=3$

Свойства

Расстояние Хэмминга обладает свойствами метрики, удовлетворяя следующим условиям:

• $~d(x,y) \ge 0$
• $~d(x,x)=0$
• $~d(x,y)=d(y,x)$
• $~d(x,z) \le d(x,y) + d(y,z)$

Расстояние Хэмминга в биоинформатике и геномике

Для нуклеиновых кислот (ДНК и РНК) возможность гибридизации двух полинуклеотидных цепей с образованием вторичной структуры — двойной спирали — зависит от степени комплементарности нуклеотидных последовательностей обеих цепей. При увеличении расстояния Хэмминга количество водородных связей, образованных комплементарными парами оснований уменьшается и, соответственно, уменьшается стабильность двойной цепи. Начиная с некоторого граничного расстояния Хэмминга гибридизация становится невозможной.

При эволюционном расхождении гомологичных ДНК-последовательностей расстояние Хэмминга является мерой, по которой можно судить о времени, прошедшем с момента расхождения гомологов, например, о длительности эволюционного отрезка, разделяющего гены-гомологи и ген-предшественник.

См. также

• Расстояние Левенштейна
• Обнаружение и исправление ошибок

Примечания

1. ↑ Hamming distance: The number of digit positions in which the corresponding digits of two binary words of the same length are different (Federal Standard 1037C).

Литература

• Блейхут Р. Теория и практика кодов, контролирующих ошибки = Theory and Practice of Error Control Codes. — М.: Мир, 1986. — 576 с.