Проблема Гильберта

Проблемой Гильберта—Арнольда также иногда называют инфинитезимальную 16-ю проблему Гильберта

Проблема Гильберта — Арнольда в теории динамических систем относится к классу задач, связанных с оценкой числа предельных циклов. В ней требуется доказать, что в типичном конечно-параметрическом семействе гладких векторных полей на сфере с компактной базой параметров число предельных циклов равномерно ограничено по всем значениям параметра. Данная проблема исторически связана с 16-й проблемой Гильберта. В настоящий момент (2009) решены только некоторые упрощенные версии проблемы Гильберта — Арнольда.

Математический контекст и постановка задачи

Напомним один из вариантов 16-й проблемы Гильберта. Рассмотрим систему полиномиальных дифференциальных уравнений на плоскости

$\begin{cases} \dot x=P_n(x,y),\\ \dot y=Q_n(x,y), \end{cases}\quad (x,y)\in \mathbb R^2,$

((*))

где $P_n$, $Q_n$ — многочлены степени не выше $n$.

Задача (Экзистенциальная проблема Гильберта). Доказать, что для всякого $n\in \mathbb N$ существует такое число $H(n)<\infty$, что любая система вида (*) обладает не более чем $H(n)$ предельными циклами.

Числа $H(n)$ называются числами Гильберта для предельных циклов.

Для дальнейшего, нам будет удобно перейти к компактному фазовому пространству и компактной базе параметров. Для этого мы используем приём, известный как компактификация Пуанкаре. Продолжая полиномиальное векторное поле на плоскости до аналитического поля направлений на проективной плоскости мы компактифицируем базу параметров, а затем используя центральную проекцию сферы на проективную плоскость, получаем аналитическое поле направлений на сфере (с конечным числом особых точек). Тем самым, в пространстве всех аналитических полей направлений на сфере выделяется конечно-параметрическое семейство полей с компактной базой параметров, порождаемых полиномиальными системами заданной степени. При этом экзистенциальная проблема Гильберта становится частным случаем следующей (более сильной) гипотезы:

Задача (Проблема глобальной конечности). В любом конечно-параметрическом аналитическом семействе аналитических векторных полей на сфере с компактной базой параметров $B$ число предельных циклов равномерно ограничено при всех значениях параметра $\varepsilon\in B$.

Полиномиальные векторные поля представляют собой естественный пример конечно-параметрического семейства, и на момент постановки 16-й проблемы Гильберта это было, вероятно, единственным известным явным семейством такого рода. Однако со временем подходы изменились, и внимание математиков стали привлекать вопросы не о конкретном семействе, а о свойствах типичных семейств из некоторого класса. В ходе работы над обзором [AAIS] (1986), В. И. Арнольд предложил рассматривать конечно-параметрические семейства гладких векторных полей и сформулировал несколько гипотез на эту тему.

Какие содержательные вопросы можно задавать о предельных циклах в типичных конечно-параметрических семействах? Очевидно, прямой аналог 16-й проблемы Гильберта в данном случае не имеет смысла: у типичной гладкой системы на сфере может быть сколь угодно большое число гиперболических предельных циклов, не разрушаемых малым шевелением, а значит спрашивать о верхней оценке на число предельных циклов в типичном семействе бессмысленно. Однако, гладкий аналог гипотезы глобальной конечности имеет смысл. Он был сформулирован явно Ю. С. Ильяшенко [I94] и получил название проблемы Гильберта — Арнольда:

Задача (Проблема Гильберта — Арнольда). В любом типичном конечно-параметрическом семействе гладких векторных полей на сфере с компактной базой параметров число предельных циклов равномерно ограничено при всех значениях параметра.

Аналитические семейства весьма сложны для изучения — например, они не допускают локальных возмущений в окрестности точки, поэтому нет оснований считать, что решение проблемы Гильберта — Арнольда само по себе позволит доказать гипотезу глобальной конечности, а с ней и 16-ю проблему Гильберта. Однако, исследователи полагают, что изучение гладких векторных полей может дать полезные идеи по поводу 16-й проблемы, а также представляет собой самостоятельную содержательную задачу.

Локальная проблема Гильберта — Арнольда

Полицикл

Благодаря компактности базы параметров и фазового пространства, мы можем свести проблему Гильберта — Арнольда к локальной проблеме изучения бифуркаций специальных вырожденных векторных полей. Напомним необходимые определения.

Определение. Полициклом векторного поля называется циклически занумерованный набор особых точек $p_1,\ldots,p_n$ (возможно, с повторениями) и набор дуг фазовых кривых $\gamma_1,\ldots,\gamma_n$ (без повторений), последовательно соединяющих указанные особые точки — то есть дуга $\gamma_j$ соединяет точки $p_j$ и $p_{j+1}$, где $p_{n+1}\equiv p_1$, $j = 1,\ldots,n$.

Определим «цикличность полицикла», то есть количество предельных циклов, рождающихся при его бифуркации:

Определение. Рассмотрим некоторое семейство векторных полей $\{v_\varepsilon(x)\}_{\varepsilon\in B^k}$. Пусть при $\varepsilon=\varepsilon_*$ система имеет полицикл $\gamma$. Цикличностью полицикла $\gamma$ в семействе $\{v_\varepsilon\}$ называется такое минимальное число $\mu$, что найдется такая окрестность полицикла $U\supset \gamma$ и такая окрестность $V$ критического значения параметра ($\mathbb R^k \supset V \ni \varepsilon_*$), что для всех $\varepsilon \in V$ в области $U$ одновременно существует не более $\mu$ предельных циклов, причем хаусдорфово расстояние между этими циклами и $\gamma$ стремится к нулю при $\varepsilon \to \varepsilon_*$.

Таким образом, цикличность зависит не только от векторного поля, содержащего полицикл, но и от семейства, в которое оно включается.

Определение. Бифуркационным числом $B(k)$ называется максимальная цикличность нетривиального полицикла в типичном $k$-параметрическом семействе гладких векторных полей на сфере.

Определение бифуркационного числа уже не зависит от семейства, а только от размерности пространства параметров. Сформулируем локальную проблему Гильберта — Арнольда:

Задача. Доказать, что для всякого $k>0$ существует $B(k)<\infty$, и найти явную верхнюю оценку.

Из соображений компактности следует, что если в некотором семействе число предельных циклов не ограничено, то они обязаны накапливаться к какому-то полициклу, имеющему тем самым бесконечную цикличность. Таким образом, решение локальной проблемы Гильберта — Арнольда влечет за собой решение глобальной.

Локальная проблема Гильберта — Арнольда решена для $k=1$ и $k=2$ ($B(1)=1$, $B(2)=2$). Для $k=3$ существует стратегия решения, но она в настоящий момент не завершена. Применение этой же стратегии для оценки $B(4)$ представляется совершенно безнадежной задачей. Основные результаты в этой области для произвольных $k$ получены для упрощенной версии локальной проблемы Гильберта—Арнольда, в которой рассматриваются только полициклы, содержащие лишь элементарные особые точки.

Определение. Особая точка называется элементарной, если её матрица линеаризации имеет хотя бы одно ненулевое собственное значение. Полицикл называется элементарным , если все его вершины являются элементарными особыми точками.

Элементарным бифуркационным числом $E(k)$ называется максимальная цикличность элементарного полицикла в типичном $k$-параметрическом семействе.

Теорема (Ю. С. Ильяшенко, С. Ю. Яковенко, 1995 [IYa]). Для всякого $k>0$ существует $E(k)<\infty$.

Теорема (В. Ю. Калошин, 2003 [K]). Для всякого $k>0$ справедлива оценка $E(k)<25^{k^2}$.

Литература

• [AAIS] В. И. Арнольд, В. С. Афраймович, Ю. С. Ильяшенко, Л. П. Шильников. Теория бифуркаций // Динамические системы—5. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. — М.: ВИНИТИ, 1986. — Т. 5. — С. 5—218. — ISSN 0233-6723.
• [I94] Yu. Ilyashenko. Normal forms for local families and nonlocal bifurcations // Asterisque. — 1994. — Vol. Vol.222. — С. 233—258.
• [IYa] Ю. С. Ильяшенко, С. Ю. Яковенко. Конечно-гладкие нормальные формы локальных семейств диффеоморфизмов и векторных полей // УМН. — 1991. — Т. 46. — № 1(277). — С. 3–39.
• [K01] В. Ю. Калошин. Проблема Гильберта–Арнольда и оценка цикличности полициклов на плоскости и в пространстве // Функц. анализ и его прил. — 2001. — Т. 35. — № 2. — P. 78–81.
• [IK] Ilyashenko, Yu., Kaloshin, V. Bifurcations of planar and spatial polycycles: Arnold's program and its development. // Fields Inst. Commun. — 1999. — Vol. 24. — P. 241—271.
• [K] V. Kaloshin. The Existential Hilbert 16-th Problem and an Estimate for Cyclicity of Elementary Polycycles // Invent. math. — 2003. — Vol. 151. — P. 451—512.