Четвёртая проблема Гильберта

Четвёртая проблема Гильберта в списке проблем Гильберта касается базовой системы аксиом геометрии. Проблема связана с определением всех реализаций систем аксиом классических геометрий (Евклида, Лобачевского, Римана) с точностью до изоморфизма, если в них опустить аксиомы конгруэнтности, содержащие понятие угла, и пополнить эти системы аксиомой «неравенство треугольника». Проблему решил Георг Хамель.

Сам Гильберт считал проблему расплывчатой и нечётко поставленной^[1]. Гильберт называл эту проблему «Проблемой о прямой как кратчайшем соединении двух точек» и характеризовал её так^[1]:

«Так проблема о кратчайшей линии играет важную историческую и принципиальную роль одновременно в основаниях геометрии, в теории кривых на поверхностях, в механике и в вариационном исчислении…

Более общий вопрос, возникающий при этом заключается в следующем: возможно ли ещё с других плодотворных точек зрения построить геометрии, которые с таким же правом могли бы считаться ближайшими к обыкновенной евклидовой геометрии…»

Задачей перечисления и описания таких метрик занимались многие математики. Монографию, посвящённую этой проблеме, написал А. В. Погорелов.

Литература

• Погорелов А. В. Четвёртая проблема Гильберта. МГУ. 1974. 80 стр.

Примечания

1. ↑ ^{1 2} Самуил Арансон. Ещё раз о 4-й проблеме Гильберта