Переменные состояния

Пространство состояний — в теории управления один из основных методов описания поведения динамической системы. Движение системы в пространстве состояний отражает изменение его состояний.

Определение

В пространстве состояний создаётся модель динамической системы, включающая набор переменных входа, выхода и состояния, связанных между собой дифференциальными уравнениями первого порядка, которые записываются в матричной форме. В отличие от описания в виде передаточной функции и других методов частотной области, пространство состояний позволяет работать не только с линейными системами и нулевыми начальными условиями. Кроме того, в пространстве состояний относительно просто работать с

Линейные непрерывные системы

Структурная схема непрерывной линейной системы, описанной в виде переменных состояния

Для случая линейной системы с $p \!$ входами, $q \!$ выходами и n переменными состояния описание имеет вид:

$\dot{\mathbf{x}}(t) = A(t) \mathbf{x}(t) + B(t) \mathbf{u}(t)$

$\mathbf{y}(t) = C(t) \mathbf{x}(t) + D(t) \mathbf{u}(t)$

где

$x(t) \in \mathbb{R}^n$; $y(t) \in \mathbb{R}^q$; $u(t) \in \mathbb{R}^p$;

$\operatorname{dim}[A(\cdot)] = n \times n$, $\operatorname{dim}[B(\cdot)] = n \times p$, $\operatorname{dim}[C(\cdot)] = q \times n$, $\operatorname{dim}[D(\cdot)] = q \times p$, $\dot{\mathbf{x}}(t) := {d\mathbf{x}(t) \over dt}$.

$x(\cdot)$ — вектор состояния, элементы которого называются состояниями системы

$y(\cdot)$ — вектор выхода,

$u(\cdot)$ — вектор управления,

$A(\cdot)$ — матрица системы,

$B(\cdot)$ — матрица управления,

$C(\cdot)$ — матрица выхода и

$D(\cdot)$ — матрица прямой связи.

Часто матрица $D(\cdot)$ является нулевой, это означает, что в системе нет явной прямой связи.

Дискретные системы

Для дискретных систем запись уравнений в пространстве состояний основывается не на дифференциальных, а на разностных уравнениях.

$\mathbf{x}(nT + 1) = A(nT) \mathbf{x}(nT) + B(nT) \mathbf{u}(nT)$

$\mathbf{y}(nT) = C(nT) \mathbf{x}(nT) + D(nT) \mathbf{u}(nT)$

Нелинейные системы

Нелинейная динамическая система n-го порядка может быть описана в виде системы из n уравнений 1-го порядка:

$\dot x_1=f_1(x_1(t);\ldots,x_n(t),u_1(t),\ldots,u_m(t))$

$\vdots$

$\dot x_n=f_n(x_1(t);\ldots,x_n(t),u_1(t),\ldots,u_m(t))$

или в более компактной форме:

$\mathbf{\dot{x}}(t) = \mathbf{f}(t, \mathbf{x}(t),\mathbf{u}(t))$

$\mathbf{y}(t) = \mathbf{h}(t, \mathbf{x}(t),\mathbf{u}(t))$

Первое уравнение — это уравнение состояния, второе — уравнение выхода.

Линеаризация

В некоторых случаях возможна линеаризация описания динамической системы для окрестности рабочей точки $(\mathbf{\tilde x}, \mathbf{\tilde u})$.

В установившемся режиме $(\mathbf{\tilde u}= const)$ для рабочей точки $\mathbf{\tilde x}= const,$ справедливо следующее выражение:

$\mathbf{\dot{x}} = \mathbf{f}(\mathbf{\tilde x},\mathbf{\tilde u})=\mathbf{0}$

Вводя обозначения:

$\delta\mathbf{u} = \mathbf{u}-\mathbf{\tilde u}$

$\delta\mathbf{x} = \mathbf{x}-\mathbf{\tilde x}$

Разложение уравнения состояния $\mathbf{f}(\mathbf{x}(t),\mathbf{u}(t))$ в ряд Тейлора, ограниченное первыми двумя членами даёт следующее выражение:

$\mathbf{f}(\mathbf{x}(t),\mathbf{u}(t))\approx \mathbf{f}(\mathbf{\tilde x}(t),\mathbf{\tilde u}(t)) + \frac{\delta \mathbf{f}}{\delta \mathbf{x}} \delta \mathbf{x} + \frac{\delta \mathbf{f}}{\delta \mathbf{u}} \delta \mathbf{u}$

При взятии частных производных вектор-функции $\mathbf{f}$ по вектору переменных состояний $\mathbf{x}$ и вектору входных воздействий $\mathbf{u}$ получаются матрицы Якоби соответствующих систем функций:

$\frac{\delta \mathbf{f}}{\delta \mathbf{x}} = \begin{bmatrix} \frac{\delta \mathbf{f_1}}{\delta \mathbf{x_1}}& \cdots & \frac{\delta \mathbf{f_1}}{\delta \mathbf{x_n}} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\delta \mathbf{f_n}}{\delta \mathbf{x_1}}& \cdots & \frac{\delta \mathbf{f_n}}{\delta \mathbf{x_n}} \end{bmatrix} \quad \frac{\delta \mathbf{f}}{\delta \mathbf{u}} = \begin{bmatrix} \frac{\delta \mathbf{f_1}}{\delta \mathbf{u_1}}& \cdots & \frac{\delta \mathbf{f_1}}{\delta \mathbf{u_p}} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\delta \mathbf{f_n}}{\delta \mathbf{u_1}}& \cdots & \frac{\delta \mathbf{f_n}}{\delta \mathbf{u_p}} \end{bmatrix}$

Аналогично для функции выхода:

$\frac{\delta \mathbf{h}}{\delta \mathbf{x}} = \begin{bmatrix} \frac{\delta \mathbf{h_1}}{\delta \mathbf{x_1}}& \cdots & \frac{\delta \mathbf{h_1}}{\delta \mathbf{x_n}} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\delta \mathbf{h_q}}{\delta \mathbf{x_1}}& \cdots & \frac{\delta \mathbf{h_q}}{\delta \mathbf{x_n}} \end{bmatrix} \quad \frac{\delta \mathbf{h}}{\delta \mathbf{u}} = \begin{bmatrix} \frac{\delta \mathbf{h_1}}{\delta \mathbf{u_1}}& \cdots & \frac{\delta \mathbf{h_1}}{\delta \mathbf{u_p}} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\delta \mathbf{h_q}}{\delta \mathbf{u_1}}& \cdots & \frac{\delta \mathbf{h_q}}{\delta \mathbf{u_p}} \end{bmatrix}$

Учитывая $\delta \mathbf{\dot x}=\mathbf{\dot x}-\mathbf{\dot \tilde x}=\mathbf{\dot x}$, линеаризованное описание динамической системы в окрестности рабочей точки примет вид:

$\mathbf{\dot x}$	$=\mathbf{A}\delta \mathbf{x}+\mathbf{B} \delta \mathbf{u}$
$\delta \mathbf{y}$	$=\mathbf{C}\delta \mathbf{x}+\mathbf{D} \delta \mathbf{u}$

где

$\mathbf{A}=\frac{\delta \mathbf{f}}{\delta \mathbf{x}}\quad \mathbf{B}=\frac{\delta \mathbf{f}}{\delta \mathbf{u}}\quad \mathbf{C}=\frac{\delta \mathbf{h}}{\delta \mathbf{x}}\quad \mathbf{D}=\frac{\delta \mathbf{h}}{\delta \mathbf{u}}$

Примеры

Модель в пространстве состояний для маятника

Маятник является классической свободной нелинейной системой. Математически движение маятника описывается следующим соотношением:

$ml\ddot\theta(t)= -mg\sin\theta(t) - kl\dot\theta(t) \!$

где

• $\theta(t) \!$ — угол отклонения маятника.
• $m \!$ — приведённая масса мaятника
• $g \!$ — ускорение свободного падения
• $k \!$ — коэффициент трения в подшипнике подвеса
• $l \!$ — длина подвеса маятника

В таком случае уравнения в пространстве состояний будут иметь вид:

$\dot{x_1}(t) = x_2(t)$

$\dot{x_2}(t) = - \frac{g}{l}\sin{x_1}(t) - \frac{k}{m}{x_2}(t)$

где

• $x_1(t):=\theta(t) \!$ — угол отклонения маятника
• $x_2(t) :=\dot{x_1}(t)$ — угловая скорость маятника
• $\dot{x_2} =\ddot{x_1}$ — угловое ускорение маятника

Запись уравнений состояния в общем виде:

$\dot{x}(t) = \left( \begin{matrix} \dot{x_1}(t) \\ \dot{x_2}(t) \end{matrix} \right) = \mathbf{f}(t, x(t)) = \left( \begin{matrix} x_2(t) \\ - \frac{g}{l}\sin{x_1}(t) - \frac{k}{m}{x_2}(t) \end{matrix} \right)$

Линеаризация модели маятника

Линеаризованная матрица системы для модели маятника в окресности точки равновесия $\left(\tilde x_1=0 \right)$ имеет вид:

$\frac{\delta \mathbf{f}}{\delta \mathbf{x}} = \left( \begin{matrix} 1 \\ -\frac{g}{l}\cos{\tilde x_1} - \frac{k}{m} \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 \\ -\frac{g}{l} - \frac{k}{m} \end{matrix} \right)$

При отсутствии трения в подвесе $\left( k=0 \right)$) получим уравнение движения математического маятника:

$\ddot x = -\frac{g}{l}x$

См. также

• Теория управления
• Фазовое пространство
• Критерий устойчивости в пространстве состояний

Ссылки

• 　Исходные дифференциальные уравнения САР