Остаточное событие

Остаточное событие

Ост́аточное собы́тие в теории вероятностей — это случайное событие, определяемое лишь удалёнными членами выделенной последовательности случайных величин.

Определение

Пусть $\{X_n\}_{n=1}^{\infty}$ есть последовательность случайных величин, определённых на некотором вероятностном пространстве $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$. Пусть $\mathcal{F}_n$ есть σ-алгебра, порождённая случайной величиной X_n. Тогда σ-алгебра

$\mathcal{F}_{\infty} = \sigma \left( \bigcap\limits_{m=1}^{\infty} \bigcup\limits_{n \ge m} \mathcal{F}_n \right)$

называется остаточной σ-алгеброй последовательности {X_n}.

Событие $A \in \mathcal{F}_{\infty}$ называется остаточным событием.

Замечание

• Если случайные величины {X_n} совместно независимы, то для любого фиксированного $n \in \mathbb{N}$, остаточная σ-алгебра $\mathcal{F}_{\infty}$ независима от $\mathcal{F}_n$. Таким образом, остаточные события не зависят от начальных членов последовательности {X_n}.

Примеры

• Событие, состоящее в том, что фиксированная последовательность случайных величин сходится, является остаточным, ибо сходимость последовательности определяется поведением её хвоста.
• Событие, состоящее в том, что фиксированный ряд случайных величин сходится к определённой сумме, не является остаточным, ибо значение суммы ряда зависит от значений каждого члена.

См. также

• Закон нуля или единицы Колмогорова.