Относительная топология это:

Относительная топология

Индуци́рованная или относи́тельная тополо́гия в общей топологии — это естественный способ задания топологии на подмножестве топологического пространства.

Основная конструкция индуцированной топологии. Пусть X — множество, и задано семейство отображений f_{\alpha}:X\to Y_\alpha в топологические пространства Yα с топологией \mathcal{T}_\alpha, где \alpha\in A. Тогда каждое семейство множеств

\mathfrak{P}_\alpha=\{f_\alpha^{-1}(U_\alpha):U_\alpha\in\mathcal{T}_\alpha\}

образует некоторую топологию пространства X (выполнены все аксиомы топологического пространства!), причём в этой топологии отображение fα будет непрерывным.

Однако пространство X можно наделить структурой топологического пространства так, чтобы все эти отображения стали непрерывными одновременно. Для этого нужно построить её предбазу

\mathfrak{P}=\bigcup\limits_{\alpha\in A}\mathfrak{P}_\alpha,

по ней (с помощью конечных пересечений) — базу \mathfrak{B}, а по базе построить полную топологию, которая называется топологией, индуцированной на X семейством отображений fα.

Пример. Пусть X — подмножество пространства Y, имеющего топологию \mathcal{T}_Y. Тогда определено отображение включения i_X:X\to Y по формуле iX(x) = x. Оно индуцирует топологию на пространстве X. Открытыми в этой топологии являются те и только те подмножества U пространства X, которые представимы в виде:

U=i_X^{-1}(V)=X\cap V,

где V\in\mathcal{T}_Y — открытое подмножество пространства Y. Такая топология называется топологией подпространства, а само X с такой топологией — топологическим подпространством пространства Y.

Пример. Пусть Xα — любое семейство топологических пространств, и X=\prod\limits_\alpha X_\alpha — их декартово произведение. Тогда определены отображения проекции \pi_\alpha:X\to X_\alpha на каждую компоненту. С помощью процедуры, описанной выше, строится топология, относительно которой все эти проекции непрерывны. Эта топология называется тихоновской, а само пространство X с такой топологией — тихоновским произведением пространств Xα.

Пример. Пусть X — векторное пространство над полем \R или \mathbb{C}, и p_\alpha:X\to\R_+ — произвольное семейство преднорм, которые одновременно могут обращаться в нуль только в нуле пространства X. Основная конструкция индуцирования применима, и в результате её пространство X наделяется локально-выпуклой топологией полинормированного пространства с (непрерывными) преднормами pα.

Полинормированные пространства — объект изучения функционального анализа.

Пример. Пусть X — топологическое векторное пространство над полем \R, X * — пространство непрерывных линейных функционалов на X. Каждый элемент \varphi пространства X * — это непрерывная линейная функция \varphi:X\to\R. Топология, индуцированная всеми такими функциями, называется слабой топологией пространства X. Слабой окрестностью точки x0 будет множество вида

U=\{x\in X:|\varphi_1(x)-\varphi_1(x_0)|<\varepsilon_1,\;|\varphi_2(x)-\varphi_2(x_0)|<\varepsilon_2,\;\ldots,\;|\varphi_n(x)-\varphi_n(x_0)|<\varepsilon_n\}

для некоторого конечного числа функционалов \varphi_1,\;\varphi_2,\;\ldots,\;\varphi_n и чисел \varepsilon_1,\;\varepsilon_2,\;\ldots,\;\varepsilon_n>0.

Зеркальным образом вводится и *-слабая (читается: «слабая со звездой») топология на пространстве X * , так как каждый элемент x пространства X тоже задаёт линейную функцию на пространстве X * по формуле x(\varphi)=\varphi(x).

Определение

Пусть дано топологическое пространство (X,\;\mathcal{T}), где X — произвольное множество, а \mathcal{T} — определённая на X топология. Пусть также Y \subset X. Определим \mathcal{T}_Y — семейство подмножеств Y следующим образом:

\mathcal{T}_Y=\{U\cap Y\mid U\in\mathcal{T}\}.

Несложно проверить, что \mathcal{T}_Y является топологией на Y. Эта топология называется индуцированной топологией \mathcal{T}. Топологическое пространство (Y,\;\mathcal{T}_Y) называется подпростра́нством (X,\;\mathcal{T}).

Пример

Пусть дана вещественная прямая \R со стандартной топологией. Тогда топология, индуцированная последней на множестве всех натуральных чисел \mathbb{N}\subset\R, является дискретной.


Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Относительная топология" в других словарях:

  • ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ТОПОЛОГИЯ — подмножества Атопологич. пространства (X, t) система пересечений всевозможных открытых подмножеств пространства (X, t). (т. е. элементов топологии t) с множеством А. Часто О. т. наз. индуцированной топологией. Подмножество топологич. пространства …   Математическая энциклопедия

  • Гомология (топология) — У этого термина существуют и другие значения, см. Гомология. Гомологии  одно из основных понятий алгебраической топологии. Даёт возможность строить алгебраический объект (группу или кольцо) который является топологическим инвариантом… …   Википедия

  • Дискетная топология — Курсив обозначает ссылку на этот словарь # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш …   Википедия

  • Континуум (топология) — Курсив обозначает ссылку на этот словарь # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш …   Википедия

  • Глоссарий общей топологии — Эта страница глоссарий. См. также основную статью: Общая топология В этом глоссарии приведены определения основных терминов, используемых в общей топологии. Курсивом выделены ссылки внутри глос …   Википедия

  • Когомологии — Гомология  одно из основных понятий алгебраической топологии. Замкнутая линия гомологична нулю, если она ограничивает кусок поверхности, который отделяется от неё, если мы произведём разрез по этой линии. Например, на сфере любая замкнутая линия… …   Википедия

  • Когомология — Гомология  одно из основных понятий алгебраической топологии. Замкнутая линия гомологична нулю, если она ограничивает кусок поверхности, который отделяется от неё, если мы произведём разрез по этой линии. Например, на сфере любая замкнутая линия… …   Википедия

  • Кольцо когомологий — Гомология  одно из основных понятий алгебраической топологии. Замкнутая линия гомологична нулю, если она ограничивает кусок поверхности, который отделяется от неё, если мы произведём разрез по этой линии. Например, на сфере любая замкнутая линия… …   Википедия

  • Список терминов общей топологии — Список терминов общей топологии. Курсив обозначает ссылку на этот словарь. # А Б В Г Д Е Ё Ж З И К Л М Н О П Р С Т У Ф …   Википедия

  • Словарь терминов общей топологии — Курсив обозначает ссылку на этот словарь # А Б В Г Д Е Ё Ж З И К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч …   Википедия

Книги



Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»