Неравенство Гельдера

Нера́венство Гёльдера в функциональном анализе и смежных дисциплинах — это фундаментальное свойство пространств L^p.

Формулировка

Пусть $(X,\mathcal{F},\mu)$ — пространство с мерой, а $L^p \equiv L^p(X,\mathcal{F},\mu)$ — пространство функций вида $f:X \to \mathbb{R}$ с конечной интегрируемой p-ой степенью. Тогда в последнем определена норма

$\|f\|_p = \left( \; \int\limits_X |f(x)|^p\, \mu(dx)\; \right)^{1/p}$.

где $p \ge 1$ , обычно подразумевается, что это натуральное число.

Пусть $f \in L^p$, а $g \in L^q$, где $p,q \ge 1,\; 1/p + 1/q = 1$. Тогда $f \cdot g \in L^1$, и

$\|f \cdot g\|_1 \le \|f\|_p \cdot \|g\|_q$.

Частные случаи

Неравенство Коши — Буняковского

Положив p = q = 2, получаем неравенство Коши — Буняковского для пространства L².

Евклидово пространство

Рассмотрим Евклидово пространство $E = \mathbb{R}^n$ или $\mathbb{C}^n$. L^p-норма в этом пространстве имеет вид:

$\| x\|_p = \left( \sum\limits_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{1/p},\; x = (x_1 ,\ldots, x_n)^{\top}$,

и тогда

$\sum\limits_{i=1}^n |x_i \cdot y_i| \le \left( \sum\limits_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{1/p} \cdot \left( \sum\limits_{i=1}^n |y_i|^q \right)^{1/q},\; \forall x,y \in E$.

Пространство l^p

Пусть $X = \mathbb{N},\, \mathcal{F} = 2^{\mathbb{N}},\, m$ — счётная мера на $\mathbb{N}$. Тогда множество всех последовательностей $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$, таких что

$\|x\|_p = \sum_{i=1}^{\infty} |x_n|^p < \infty$,

называется l^p. Неравенство Гёльдера для этого пространства имеет вид:

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} |x_n \cdot y_n| \le \left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} |x_n|^p \right)^{1/p} \cdot \left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} |y_n|^q \right)^{1/q},\; \forall x \in l^p, y\in l^q$.

Вероятностное пространство

Пусть $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ — вероятностное пространство. Тогда $L^p(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ состоит из случайных величин с конечным p-м моментом: $\mathbb{E}\left[|X|^p\right] < \infty$, где символ $\mathbb{E}$ обозначает математическое ожидание. Неравенство Гёльдера в этом случае имеет вид:

$\mathbb{E}|XY| \le \left(\mathbb{E}|X|^p\right)^{1/p} \cdot \left( \mathbb{E}|Y|^q \right)^{1/q},\; \forall X \in L^p, Y \in L^q$.

См. также

• Пространство Lp
• Гёльдер, Отто
• Неравенство Юнга
• Неравенство Минковского

Ссылки