Матрица Грама

Определителем Грама системы векторов e₁, e₂, ..., e_n в евклидовом пространстве называется определитель матрицы Грама этой системы:

$\begin{vmatrix} \langle e_1, e_1\rangle & \langle e_1, e_2\rangle & \ldots & \langle e_1, e_n\rangle \\ \langle e_2, e_1\rangle & \langle e_2, e_2\rangle & \ldots & \langle e_2, e_n\rangle \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \langle e_n, e_1\rangle & \langle e_n, e_2\rangle & \ldots & \langle e_n, e_n\rangle \\ \end{vmatrix}$

где $\langle e_i, e_j\rangle$ — скалярное произведение векторов e_i и e_j.

Матрица Грама возникает из следующей задачи линейной алгебры:

Пусть в евклидовом пространстве V система векторов e₁, e₂, ..., e_n порождает подпространство U. Зная, чему равны скалярные произведения вектора x из U с каждым из этих векторов, найти коэффициенты разложения вектора x по векторам e₁, e₂, ..., e_n.
Исходя из разложения x = x₁e₁ + x₂e₂ + ... + x_ne_n получается линейная система уравнений с матрицей Грама:

$\begin{cases} \langle \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_1\rangle x_1 + \langle \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2\rangle x_2 + \dots + \langle \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_n\rangle x_n = \langle \mathbf{e}_1,\mathbf{x}\rangle\\ \langle \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_1\rangle x_1 + \langle \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_2\rangle x_2 + \dots + \langle \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_n\rangle x_n = \langle \mathbf{e}_2,\mathbf{x}\rangle\\ \quad\dots\quad\dots\quad\dots\quad\dots\quad\dots\quad\dots\quad\dots\quad\dots\quad\dots\quad\\ \langle \mathbf{e}_n, \mathbf{e}_1\rangle x_1 + \langle \mathbf{e}_n, \mathbf{e}_2\rangle x_2 + \dots + \langle \mathbf{e}_n, \mathbf{e}_n\rangle x_n = \langle \mathbf{e}_n,\mathbf{x}\rangle\\ \end{cases}$

Эта задача однозначно разрешима тогда и только тогда, когда векторы e₁, e₂, ..., e_n линейно независимы. Поэтому обращение в нуль определителя Грама системы векторов - это критерий их линейной зависимости.

Геометрический смысл определителя Грама

Геометрический смысл определителя Грама раскрывается при решении следующей задачи:

Пусть в евклидовом пространстве V система векторов e₁, e₂, ..., e_n порождает подпространство U. Зная скалярные произведения вектора x из V с каждым из этих векторов, найти расстояние от x до U.
Минимум расстояний |x-u| по всем векторам u из U достигается на ортогональной проекции вектора x на U. При этом x=u+n, где вектор n перпендикулярен всем векторам из U, и расстояние от x до U равно модулю вектора n. Для вектора u решается задача о разложении (см. выше) по векторам e₁, e₂, ..., e_n, и решение получившейся системы выписывается по правилу Крамера:

$\mathbf{u} = -{1\over \Gamma}\begin{vmatrix} \langle \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_1\rangle & \langle \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2\rangle & \ldots & \langle \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_n\rangle & \langle \mathbf{e}_1, \mathbf{x}\rangle\\ \langle \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_1\rangle & \langle \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_2\rangle & \ldots & \langle \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_n\rangle & \langle \mathbf{e}_2, \mathbf{x}\rangle\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ \langle \mathbf{e}_n, \mathbf{e}_1\rangle & \langle \mathbf{e}_n, \mathbf{e}_2\rangle & \ldots & \langle \mathbf{e}_n, \mathbf{e}_n\rangle & \langle \mathbf{e}_n, \mathbf{x}\rangle\\ \mathbf{e}_1 & \mathbf{e}_2 & \ldots & \mathbf{e}_n & \mathbf{0} \end{vmatrix}$

где Г - определитель Грама системы. Вектор n равен:

$\mathbf{n}=\mathbf{x}-\mathbf{u} = {1\over \Gamma}\begin{vmatrix} \langle \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_1\rangle & \langle \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2\rangle & \ldots & \langle \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_n\rangle & \langle \mathbf{e}_1, \mathbf{x}\rangle\\ \langle \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_1\rangle & \langle \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_2\rangle & \ldots & \langle \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_n\rangle & \langle \mathbf{e}_2, \mathbf{x}\rangle\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ \langle \mathbf{e}_n, \mathbf{e}_1\rangle & \langle \mathbf{e}_n, \mathbf{e}_2\rangle & \ldots & \langle \mathbf{e}_n, \mathbf{e}_n\rangle & \langle \mathbf{e}_n, \mathbf{x}\rangle\\ \mathbf{e}_1 & \mathbf{e}_2 & \ldots & \mathbf{e}_n & \mathbf{x} \end{vmatrix}$

и квадрат его модуля равен

$|\mathbf{n}|^2 = \langle\mathbf{n},\mathbf{x}\rangle = {\Gamma(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\dots,\mathbf{e}_n,\mathbf{x}) \over \Gamma(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\dots,\mathbf{e}_n)}.$

Из этой формулы индукцией по n получается следующее утверждение:

• Определитель Грама системы n векторов равен квадрату n-мерного объёма параллелепипеда, натянутого на эти вектора.