ГРАМА ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ это:

ГРАМА ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ

- определитель вида


где - элементы (пред)гильбертова пространства, а -их скалярные произведения. Г. о. равен квадрату n-мерного объема параллелотопа, построенного на векторах .

Г. о. является определителем неотрицательной эрмитовой формы


откуда и вытекают его основные свойства:

1) Г. о. неотрицателен, т. е. . Равенство имеет место тогда п только тогда, когда векторы линейно зависимы. Это свойство может рассматриваться как обобщение Ноши неравенства:


В частности, Г. о. равен нулю, если какой-либо его главный минор (также являющийся Г. о.) равен нулю.


причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда подпространства и ортогональны или один из определителей , равен нулю. Геометрически это неравенство означает, что объем параллелотопа не превосходит произведения объемов дополнительных граней. В частности,


где


есть расстояние от элемента а п до подпространства т. е. наилучшее квадратическое приближение элемента полиномами вида Если суть га-мерные векторы , то


Г. о. введены И. П. Грамом [1] и независимо К. А. Андреевым (см. [2]) в связи с задачами разложения функции в ортогональные ряды и наилучшего квадрати-ческого приближения функций.

Г. о. применяются при решении многих задач линейной алгебры и теории функций: исследовании линейной зависимости системы векторов или функций, ортогонализации системы функций, построение проекторов, а также при изучении свойств систем функций. См. также Грама матрица.

Г. о. являются частным случаем определителей вида


к-рые эрмитово билинейны по отношению к векторам и . Если принадлежат классу , то справедлива формула


Лит.:[1] Gram J. P., On Rsekkeudviklinger bestemte ved Hjelp of de mindste Kvadraters Methode, Kopenh., 1879; [2] Андреев К. А., Избр. работы, Харьков, 1955; [3] Гантмахер Ф. Р., Теория матриц, 3 изд., М., 1967.

Л. П. Купцов.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "ГРАМА ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ" в других словарях:

  • Определитель — У этого термина существуют и другие значения, см. Определитель (значения). Определитель (или детерминант)  одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной матрицы (то есть такой, у …   Википедия

  • Определитель матрицы — Определитель (или детерминант) одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной матрицы (т.е. такой, у которой количество строк и столбцов равны). В общем случае матрица может быть… …   Википедия

  • ГРАМА МАТРИЦА — квадратная матрица составленная из попарных скалярных произведений элементов (векторов) (пред)гильбертова пространства. Г. м. всегда неотрицательна. Она положительно определена, если а 1, а 2,..., а k линейно независимы. Справедливо обратное:… …   Математическая энциклопедия

  • ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ — (детерминант) квадратнойматрицы А = ||aij|| порядка n, detA многочлен …   Физическая энциклопедия

  • Определитель Грама — Определителем Грама (англ.) (грамианом) системы векторов в евклидовом пространстве называется определитель матрицы Грама этой системы …   Википедия

  • Матрица Грама — Определителем Грама системы векторов e1, e2, ..., en в евклидовом пространстве называется определитель матрицы Грама этой системы: где …   Википедия

  • ОРТОГОНАЛИЗАЦИЯ — процесс ортогонализации, алгоритм построения для данной линейно независимой системы векторов евклидова или эрмитова пространства V ортогональной системы ненулевых векторов, порождающих то же самое подпространство в V. Наиболее известным является… …   Математическая энциклопедия

  • Детерминант (математика) — Определитель (или детерминант) одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной матрицы (т.е. такой, у которой количество строк и столбцов равны). В общем случае матрица может быть… …   Википедия

  • Детерминант — Определитель (или детерминант) одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной матрицы (т.е. такой, у которой количество строк и столбцов равны). В общем случае матрица может быть… …   Википедия

  • ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО — векторное пространство Н над полем комплексных (или действительных) чисел вместе с комплексной (действительной) функцией ( х, у), определенной на и обладающей следующими свойствами. то существует такой элемент , что элемент хназ. пределом… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»