- Максвелла уравнения
-
Уравнения Максвелла — основные уравнения классической электродинамики, описывающие эволюцию электромагнитного поля и его взаимодействие с зарядами и токами. Уравнения были опубликованы Дж. К. Максвеллом в 1873 году в его книге «Трактат об электричестве и магнетизме».
Содержание
Уравнения в классическом виде
Уравнения в общем виде
Название Дифференциальная форма Интегральная форма Примерное словесное выражение Закон индукции Фарадея Изменение магнитной индукции порождает вихревое электрическое поле Закон Ампера
(с добавкой от Максвелла)Электрический ток и изменение электрической индукции порождают вихревое магнитное поле Теорема Гаусса Электрический заряд является источником электрической индукции Теорема Гаусса Магнитная индукция не расходится (не имеет источников). (Неприменима к монополям. До сих пор монополей в природе не обнаружено.) Приведенные выше уравнения Максвелла не составляют еще полной системы уравнений электромагнитного поля, поскольку они не содержат свойства среды, в которой возбуждено электромагнитное поле. Соотношения, связывающие величины , , , и , в которых учитываются индивидуальные свойства среды, называются материальными уравнениями.
Введённые обозначения:
- — плотность стороннего электрического заряда (в единицах СИ — Кл/м³)
- — плотность электрического тока (плотность тока проводимости) (в единицах СИ — А/м²)
- — напряжённость электрического поля (в единицах СИ — В/м)
- — напряжённость магнитного поля (в единицах СИ — А/м)
- — электрическая индукция (в единицах СИ — Кл/м²)
- — магнитная индукция (в единицах СИ — Тл = Вб/м²= кг·с-2·А-1)
- — сторонний электрический заряд, заключенный внутри поверхности (в единицах СИ — Кл)
- — электрический ток, проходящий через поверхность вызванный движением свободных зарядов (в единицах СИ — А)
- — коэффициенты, зависящие от системы единиц.
- — дифференциальный оператор ротора
- — дифференциальный оператор дивергенции
- — замкнутая двумерная поверхность
- — замкнутый контур
Уравнения в Гауссовой системе единиц
Уравнения в системе СИ
Материальные уравнения
Чтобы дополнить уравнения Максвелла до полной системы уравнений электродинамики, необходимо получить материальные уравнения, которые связывают величины , , , , и в которых учтены индивидуальные свойства среды. Способ получения материальных уравнений дают молекулярные теории поляризации, намагничивания и электропроводности среды. В основе таких теорий лежат в той или иной степени идеализированные модели среды. Применяя к ним уравнения классической или квантовой механики, а также методы статистической физики, можно установить связь между векторами , , с одной стороны и , с другой стороны. В случае слабых электромагнитных полей, сравнительно медленно меняющихся в пространстве и во времени, а также для изотропных, неферромагнитных и несегнетоэлектрических сред материальные уравнения записываются в виде:
где — диэлектрическая проницаемость (в единицах СИ — Ф/м), — магнитная проницаемость (в единицах СИ — Гн/м) и — электропроводность среды (в единицах СИ — 1/(Ом·м)).
В вакууме, без зарядов и токов
Вакуум — это линейная, однородная, изотропная, бездисперсионная среда; и магнитная, и электрическая постоянные обозначаются через и (не учитывая очень малых квантовых эффектов).
Уравнения Максвелла для вакуума без электрических зарядов и токов такие:
Эта система дифференциальных уравнений имеет простое решение — гармоническая, плоская волна. Векторы электрического и магнитного полей перпендикулярны направлению распространения волны и друг другу, и находятся в фазе. Волна распространяется со скоростью:Максвелл обозначил эту величину c. Это просто скорость света в вакууме, а свет — это вид электромагнитного излучения. Общепринятые значения[1] скорости света, электрической и магнитной постоянных приведены в следующей таблице:
Символ Имя Численное значение Единицы измерения СИ Тип Постоянная скорости света м/с LT−1 Электрическая постоянная Ф / м L−3M−1T4I² Магнитная постоянная Гн / м LMT−2I−2 Релятивистская инвариантность
Уравнения Максвелла в вакууме инвариантны относительно преобразований Лоренца. Это послужило одним из толчков к созданию специальной теории относительности. В ковариантной форме уравнения приобретают вид (в системе единиц СГС):
- ,
где — 4-ток, а — антисимметричный тензор электромагнитного поля:
Примечания
Литература
- Матвеев А. Н. Электричество и магнетизм. М.: Высшая школа, 1983.
- Тоннела М.-А. Основы электромагнетизма и теории относительности. Пер. с фр. М.: Иностранная литература, 1962. 488 с.
- Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7
- Фущич В. И., Никитин А. Г., Симметрия уравнений Максвелла. Киев: Наук. думка, 1983. 200 с.
См. также
Wikimedia Foundation. 2010.