- Логарифмическая амплитудная частотная характеристика
-
Логарифмическая амплитудно-фазовая частотная характеристика (ЛАФЧХ) — представление частотного отклика линейной стационарной системы в логарифмическом масштабе.
ЛАФЧХ строится в виде двух графиков: логарифмической амплитудно-частотной характеристики и фазо-частотной характеристики, которые обычно располагаются друг под другом.
Анализ систем с помощью ЛАФЧХ весьма прост и удобен, поэтому находит широкое применение в различных отраслях техники, таких как цифровая обработка сигналов, электротехника и теория управления.
Содержание
Названия
В западной литературе используется название диаграмма Боде или график Боде, по имени выдающегося инженера Хенрика Боде (англ. Hendrik Wade Bode).
В инженерных кругах название обычно сокращается до ЛАХ.
В пакете прикладных программ для инженерных вычислений bode.
Использование
Свойства и особенности
Если передаточная функция системы является рациональной, тогда ЛАФЧХ может быть аппроксимирована прямыми линиями. Это удобно при рисовании ЛАФЧХ вручную, а также при составлении ЛАФЧХ простых систем.
С помощью ЛАФЧХ удобно проводить синтез систем систем управления, а также цифровых и аналоговых фильтров: в соответствии с определёнными критериями качества строится желаемая ЛАФЧХ, аппроксимированная с помощью прямых линий, которая затем разбивается на ЛАФЧХ отдельных элементарных звеньев, из которых восстанавливается передаточная функция системы (регулятора) или фильтра.
ЛАЧХ
На графике ЛАЧХ абсциссой является частота в логарифмическом масштабе, по оси ординат отложена амплитуда передаточной функции в децибелах.
Представление АЧХ в логарифмическом масштабе упрощает построение характеристик сложных систем, так как позволяет заменить операцию перемножения АЧХ звеньев сложением, что вытекает из свойства логарифма: .
ФЧХ
На графике фазо-частотной характеристики абсциссой является частота в логарифмическом масштабе, по оси ординат отложен фазовый сдвиг выходного сигнала системы относительно входного (обычно в градусах).
Также возможен вариант, когда по оси ординат откладывается фазовый сдвиг в логарифмическом масштабе, в этом случае характеристика будет называться ЛФЧХ.
Случай минимально-фазовых систем
Амлитуда и фаза системы редко меняются независимо друг от друга — при изменении амплитуды меняется и фаза и наоборот. Для минимально-фазовых систем ЛФЧХ и ЛАЧХ могут быть однозначно определены друг из друга с помощью преобразования Гильберта.
Построение ЛАФЧХ
Основная идея основывается на следующем математическом правиле сложения логарифмов. Если передаточную функцию можно представить в виде дробно-рациональной функции
- ,
то:
После разбиения передаточной функции на элементарные звенья можно построить ЛАФЧХ каждого отдельного звена, а результирующую ЛАФЧХ получить простым сложением.
Аппроксимация ЛАЧХ прямыми линиями
При построении ЛАЧХ для оси ординат обычно используется масштаб , то есть значение АЧХ, равное 100 превращается в 40 децибел шкалы ЛАЧХ. Если передаточная функция имеет вид:
- где — комплексная переменная, которую можно связать с частотой, используя следующую формальную замену: , и — константы, а — передаточная функция. Тогда построить ЛАЧХ можно используя следующие правила:
-
-
- в каждом , где (нуль), наклон линии увеличивается на дБ на декаду.
-
-
-
- в каждом , где (полюс), наклон линии уменьшается на дБ на декаду.
-
-
-
- Начальное значение графика можно найти простой подстановкой значения круговой частоты в передаточную функцию.
-
-
-
- Начальный наклон графика зависит от числа и порядка нулей и полюсов, которые меньше начального значения частоты. Он может быть найден с помощью первых двух правил.
-
-
-
- В случае наличия комплексно-сопряжённых нулей или полюсов необходимо использовать звенья второго порядка, , наклон менятся в точке сразу на дБ на декаду.
-
Корректировка аппроксимированной ЛАЧХ
Для корректировки ЛАЧХ, аппроксимированную прямыми линиями надо:
-
-
- в каждом нуле поставить точку на дБ выше линии ( дБ для двух комплексно-сопряжённых нулей)
-
-
-
- в каждом полюсе поставить точку на дБ ниже линии ( дБ для двух комплексно-сопряжённых полюсов)
-
-
-
- плавно соединить точки, используя прямые линии в качестве асимптот
-
Аппроксимация ФЧХ
Для построения аппроксимированной ФЧХ используют запись передаточной функции в том же виде, что и для ЛАЧХ:
Основной принцип построения ФЧХ — начертить отдельные графики для каждого полюса или нуля, затем сложив их. Точная кривая фазо-частотной характеристики задаётся уравнением:
Для того, чтобы нарисовать ФЧХ для каждого полюса или нуля, используют следующие правила:
-
- если положительно, начать линию (с нулевым наклоном) в 0 градусов,
- если отрицательно, начать линию (с нулевым наклоном) в 180 градусов,
- для нуля сделать наклон линии вверх на ( для комплексно сопряжённого) градусов на декаду начиная с ,
- для полюса наклонить линию вниз на ( для комплексно сопряжённого) градусов на декаду начиная с ,
- обнулить наклон снова когда фаза изменится на градусов для простого нуля или полюса и на градусов для комплексно-сопряжённого нуля или полюса,
- сложить все линии и нарисовать результирующую.
Анализ устойчивости по ЛАФЧХ
ЛАФЧХ некоторых элементарных звеньев
Ниже представлена таблица, в которую помещены передаточные функции и ЛАФЧХ некоторых типовых элементарных звеньев. Большая часть линейных стационарных систем может быть представлена в виде соединения таких звеньев. В таблице — комплексная переменная.
№ Звено Передаточная функция ЛАФЧХ Примечания 1 пропорциональное 2 идеальное интегрирующее[1] 3 идеальное дифференцирующее[2] 4 апериодическое
(реальное интегрирующее)5 колебательное
6 неустойчивое
апериодическое
неминимально-фазовое7 форсирующее 8 форсирующее
второго
порядка
9 чистого
запаздываниеПримечания
См. также
Wikimedia Foundation. 2010.