ПАРАСТАТИСТИКА

ПАРАСТАТИСТИКА

- статистика тождественныхчастиц, когда их число в симметричном (парафермистатистика) или антисимметричном( парабозе-статистика) состоянии не превосходит нек-рое заданное целоечисло р Ферми - Дирака статистика, Бозе - Эйнштейнастатистика), к-рые также можно определить как статистики, когда числочастиц в симметричном состоянии для ферми-статистики и в антисимметричномсостоянии для бозе-статистики не
может превосходить число р =1;отсюда следует, что волновые ф-ции п тождеств. частиц для ферми-статистикимогут быть только антисимметричными, а для бо-зе-статистики - только симметричными, <что совпадает с обычным определением этих статистик. Для П. каждому состояниюсистемы п тождеств. частиц отвечает не одна, а неск. волновых ф-ций, <образующих векторы одного из многомерных неприводимых представлений группыперестановок S_n. Среднее от к.-л. наблюдаемой определяетсякак след по данному представлению. При этом перестановки аргументов тождеств. <частиц не приводят к наблюдаемым эффектам. Однако определённые линейныекомбинации операторов перестановок - характеры - являются наблюдаемымии неприводимые представления S_n классифицируются по ихсобств. значениям.
Для системы тождеств. частиц должен выполнятьсят. н. кластерный закон: при удалении одной или неск. частиц на достаточнобольшое расстояние подсистема из оставшихся частиц должна описываться волновойф-цией, допустимой данной статистикой частиц. Пределу соответствуют бесконечные статистики, к-рые описываются произвольными неограниченными Юнгасхемами. Конечным статистикам ( р ограничено) отвечают схемыЮнга либо с ограниченным числом столбцов (фермиподобные статистики), либос ограниченным числом строк (бозеподобные статистики). Существует недоказанноепредположение, что бесконечным статистикам отвечает классич. статистикаМаксвелла - Больцмана. Конечные параферми-статистики (1 < р< )занимают промежуточное положение между ферми- и бозе-статистиками, и поэтой причине их наз. также промежуточными статистиками Джентиле [по имениД. Джентиле (D. Gentile), впервые предложившего их в 1940]. Соответствующемугипотетич. парагазу свойственно наличие как ферми-энергии, так и Бозе- Эйнштейна конденсации.
При вторичном квантовании парастатистикамсоответствуют квантовые параполя, удовлетворяющие в общем случае т. н. <паракоммутац. соотношениям Грина [X. С. Грин (Н. S. Green), 1953]. Этисоотношения имеют трилинейную форму. Напр., для спинорного Дирака поля , квантуемого по Грину:

и т. д., при одинаковых временах х ₀= у ₀- z₀, где - Дирака функция, квадратные скобки означают коммутатор, а крест - эрмитовосопряжение [ х = ( х₀, х), у =(y₀, у),z= (z₀, z) - точки пространства-времени;используется система единиц, в к-рой .= с =1]. Можно показать, что для этих соотношений при фиксированном . существует представление, характеризуемое единств. вакуумным состоянием, <хотя (при рмножество др. неприводимыхпредставлений, основанных на вырожденных векторах состояния с отличнымот нуля мин. числом частиц.
С гриновскпми соотношениями (1) связаны Ли алгебры ортогональной (в случае параферми-статистики) и симплектической(в случае парабозе-статистики) групп в бесконечномерных пространствах [С. <Камефути (S. Kamefuchi), Акахаси (Y. Akahashi), 1962]. Обычным статистикамсоответствуют спинорные представления этих групп, тогда как П. - представленияс р спи-норными индексами. На этой основе параполе любого порядкаможно представить в виде суммы обычных фермионных или бозонных полей, удовлетворяющих, <однако, аномальным взаимным коммутац. соотношениям (т. н. анзац Грина):

при равных временах х ₀ =у ₀. Индекс означает коммутатор, если он равен - 1, и антикоммутатор, если он равен+1; =- 1 или +1 соответственно для параферми- и парабозе-статистич;- символ Кронекера. На основе такого представления параполей доказана теоремао том, что любая теория параполей эквивалентна теории р- кратновырожденных совокупностей обычных полей, обладающих в общем случае глобальной внутреннейсимметрией SO(p),a при ограниченном выборе допустимых наблюдаемых- SU(p). На этой основе для конечных П. доказана также обобщённая Паули теорема о связи спина со статистикой: частицы с полуцелымспином подчиняются парафермистатистике, а частицы с целым спином - парабозестатистнке. <Т. о., теория П. и параполей приводится к случаю обычных статистик и обычныхполей, вырожденных по нек-рой внутр. степени свободы. Обратное утверждениев общем случае несправедливо: не всякая внутр. симметрия может быть переформулированана языке параполей. В особенности это относится к калибровочным симметриям(симметриям относительно калибровочных преобразований).
Теория параполей получила особое развитиев связи с созданием кварковой модели строения адронов. Для решения проблемыпомещения трёх кварков в одно и то же квантовомеханич. состояние О. У. <Гринберг (О. W. Greenberg, 1964) выдвинул гипотезу о подчинении кварковпараферми-статистике 3-го порядка. Однако оказалось, что последоват. переходк калибровочной симметрии в рамках параполей приводит к теории, эквивалентнойкалибровочной симметрии SO(3), к-рая отличается от квантовойхромодинамики наличием только трёх глюонов и возможностью существованиябесцветных дикварковых состояний, экспериментально не обнаруженных. Поэтой причине гипотеза паракварков либо должна быть полностью заменена гипотезойо физ. цветовой кварковой симметрии SU(3 )(см. Цвет), либодля включения последней в рамки параполей их теория должна быть существеннорасширена. Такое расширение достигается включением в анзац Грина произведенияобычных фермионных (или бозонных) полей на элементы комплексной Клиффордаалгебры:

В силу последнего свойства (нильпотентности)в такой теории нельзя непосредственно рассматривать системы с более чем р частиц, но можно рассматривать неск. систем с числом частиц, небольшим р в каждой из них. Иное обобщение параполей основываетсяна аналогичной конструкции, где в качестве е _А берутсяэлементы неассоциативной алгебры октонионов. В этом случае однозначно фиксируетсяпорядок П. ("цвет") р =3, однако возникает проблема построениягильбертова пространства векторов состояний.

Лит.: Дирак П., Принципы квантовоймеханики, пер. с англ., 2 изд., М., 1979, с. 280 - 96; Говорков А. В.,Парастатистика и внутренние симметрии, "ЭЧАЯ", 1983, т. 14, в. 5, с. 1229.

А. Б. Говорков.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1988.