- КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ
- КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ
-
- набор вещественных чисел q1,......., qn, определяющих положение точки Р в нек-рой области G n -мерного евклидова пространства и связанных с декартовыми координатами x1, ..., х п этой точки посредством преобразований qi=q1 (x1,.......,xn), i = l, 2, ..., п, где qi (x1, ..., х п) - однозначные непрерывно дифференцируемые ф-ции в G.
Если в каждой точке G якобиан (детерминант J = = det(
) не равен нулю, то существует однозначное обратное преобразование Xj=xj(q1, ..., qn), j = 1, ..., п. Поверхности, определяемые ур-ниями qi( х1, ..., х п) = с i где ci = const, i = l, ..., n, наз. координатными поверхностями, а их попарные пересечения - координатными линиями. Система К. к. наз. ортогональной, если в каждой точке области G единичные векторы, касательные к координатным линиям, образуют ортонормированную систему векторов. Квадрат расстояния ds2 между двумя бесконечно близкими точками в G определяется квадратичной формой 
=
, где 
- метрический тензор, детерминант к-рого 
равен J2. Необходимое и достаточное условие ортогональности системы К. к. заключается в равенстве gij=0для 
в каждой точке G. В последнем случае величины hi=
наз. коэффициентами Ламе. Напр., в ортогональной трёхмерной системе К. к. квадрат элемента длины ds2 имеет вид 
, а элемент объёма dV равен 
. Векторные операции со скалярами f и векторами А выражаются след. образом: градиент,
Лапласа оператор,
дивергенция,
суммирование производится по круговым перестановкам индексов,
остальные компоненты rot А получаются круговой перестановкой индексов. Наиб. распространёнными ортогональными системами К. к. в трёхмерном пространстве являются сферич. система координат
, связанных с декартовыми координатами х 1=х, х 2=у, x3 = z равенствами x =
; о<r<
,
, 
, ицилиндрич. система координат 
, 
, 
, для к-рых 
, 
, z= z;
В сферич. системе координат J=r2sin
, 
а Лапласа оператор 
имеет вид
В цилиндрич. системе координат для соответствующих величин имеем J=r,
Лит.: Морс Ф. М., Фешбах Г., Методы теоретической физики, пер. с англ., т. 1, М., 1958; Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, 5 изд , М., 1977. В. И. Алхимов.
Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1988.
.
