КРИСТАЛЛООПТИКА

КРИСТАЛЛООПТИКА

       

пограничная область оптики и кристаллофизики, охватывающая изучение законов распространения света в кристаллах. Характерными для кристаллов явлениями, изучаемыми К., явл. двойное лучепреломление, поляризация света, вращение плоскости поляризации, плеохроизм и др. Вопросы поглощения и излучения света кристаллами изучаются в спектроскопии кристаллов. Влияние электрич. и магн. полей на оптич. св-ва кристаллов исследуются в электрооптике и магнитооптике, опирающихся на осн. законы К.

Т. к. период крист. решётки (=10 ?) во много раз меньше длинны волны видимого света (4000—7000 ?), кристалл можно рассматривать как однородную, но анизотропную среду. Оптическая анизотропия кристаллов обусловлена анизотропией поля сил вз-ствия ч-ц. Хар-р этого поля связан с симметрией кристаллов. Все кристаллы, кроме кубических, оптически анизотропны.

В изотропных средах вектор электрич. индукции D связан с вектором электрич. поля Е соотношением: D=eЕ, где диэлектрич. проницаемость e — скалярная величина, в случае перем. полей зависящая от их частоты (см. ДИЭЛЕКТРИКИ). Т. о., в изотропных средах векторы D и Е имеют одинаковое направление. В кристаллах направления векторов D и Е не совпадают, а соотношение между этими величинами имеет более сложный вид, т. к. диэлектрич. проницаемость e, описываемая тензором, зависит от направления в кристалле (см. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ДИСПЕРСИЯ). Следствием этого и явл. анизотропия оптич. св-в кристаллов, в частности зависимость скорости распространения в нём волны v и преломления показателя n от направления.

Рис. 1. Оптич. индикатриса двуосного кристалла — трёхосный эллипсоид; его оси симметрии Ох, Оу и Oz наз. гл. осями индикатрисы; nх, ny, nz — показатели преломления вдоль гл. осей; 1 и 2 — два круговых сечения эллипсоида; O1 O' и О2 О2' — оптич. оси кристалла.

Если из произвольной точки О кристалла провести по всем направлениям радиусы-векторы r, модули к-рых r=n=?e, где e — диэлектрич. проницаемость в направлении r при данной частоте колебаний, то концы векторов r будут лежать на поверхности эллипсоида, наз. оптической индикатрисой (рис. 1). Оси симметрии этого эллипсоида определяют три взаимно перпендикулярных главных направления в кристалле, по к-рым направления векторов D и E совпадают. В прямоуг. декартовой системе координат, осп к-рой совпадают с гл. направлениями, ур-ние оптич. индикатрисы имеет вид:

где nх, ny и nz— значения n вдоль гл. направлений (гл. значения n), Оптической осью кристалла наз. нормаль N к плоскости кругового сечения оптич. индикатрисы.

Для кубнч. кристаллов оптич. индикатриса превращается в сферу с радиусом r=n. В кристаллах ср. сингоний (тригональной, тетрагональной и гексагональной) одно из гл. направлений совпадает с гл. осью симметрии кристалла. В этих кристаллах оптич. индикатриса — эллипсоид вращения, и они имеют только одну оптич. ось, совпадающую с осью вращения эллипсоида. Такие кристаллы наз. дноосными. Кристаллы низших сингоний (ромбической. моноклинной и триклинной) наз. двуосными. Их оптич. индикатриса — трёхосный эллипсоид, имеющий два круговых сечения и две оптич. оси (рис.. 1).

Вследствие несовпадения направлений векторов D и E поляризованная плоская монохроматич. волна в кристалле характеризуется двумя тройками взаимно перпендикулярных векторов D, H, v и Е, Н, v' (рис. 2). Скорость v' совпадает по направлению с Пойнтинга вектором S и равна скорости переноса энергии волной. Её называют лучевой скоростью волны. Скорость v наз. нормальной скоростью волны. Она равна скорости распространения фазы и фронта волны по направлению нормали N к фронту. Величины v и v' связаны соотношением: v'=v/cosa, где a — угол между векторами D и Е.

Нормальная и лучевая скорости волны определяются из уравнения Френеля — осн. ур-ния К., к-рое имеет вид:

Здесь Nx, Ny и Nz — проекции вектора нормали N на гл. направления кристалла; vx=c/nx, vy=clny, vz=c!nz — гл. фазовые скорости волны.

Т. к. ур-ние Френеля — квадратное относительно v, то в любом направлении N имеются два значения нормальной скорости волны v1 и v2, совпадающие только в направлении оптич. осей кристаллов. Если из точки О откладывать по всем направлениям N векторы соответствующих им нормальных скоростей v1 и v2, то концы векторов будут лежать на двух поверхностях, наз. поверхностями нормалей. У одноосного кристалла одна из поверхностей — сфера, вторая— овалоид, к-рый касается сферы в двух точках пересечения её с оптич. осью. У двуосных кристаллов эти поверхности пересекаются в четырёх точках, лежащих на двух оптич. осях (б и н о р м а л я х).

Аналогично геом. место точек, удалённых от точки О на расстояния v1 и v2, наз. лучевыми поверхностями или поверхностями волны. В одноосных кристаллах одна из поверхностей — сфера, вторая — эллипсоид вращения вокруг оптич. оси Oz. Сфера и эллипсоид касаются друг друга в точках их пересечения с оптич. осью (рис. 3). В двуосных кристаллах поверхности пересекаются друг с другом в четырёх точках, попарно лежащих на двух прямых, пересекающихся в точке О (б и р а д и а л и).

Т. <о., в кристаллах в произвольном направлении N могут распространяться две плоские волны, поляризованные в двух взаимно перпендикулярных плоскостях.

Направления векторов D1 и D2 этих волн совпадают с осями эллипса, получающегося при пересечении оптич. индикатрисы с плоскостью, перпендикулярной N и проходящей через точку О. Нормальные скорости этих волн равны: v1=с/n1 и v2=с/n2. Векторы E1 и Е2 этих волн также лежат в двух взаимно перпендикулярных плоскостях, причём им соответствуют два лучевых вектора S1 и S2 и два значения лучевой скорости v'1= v1/cosa и v'2=v2/cosa.

При преломлении света на границе кристалла в нём возникают два преломлённых луча, один из к-рых подчиняется обычным законам преломления и поэтому наз. обыкновенным (о), а второй не подчиняется этим законам и наз. необыкновенным (е) (см. ДВОЙНОЕ ЛУЧЕПРЕЛОМЛЕНИЕ). Одноосный кристалл наз. положительным, если v0>ve, и отрицательным, если v0

Две световые волны с ортогональной поляризацией, распространяющиеся внутри кристалла в одном направлении, приобретают за счёт различия показателей преломления разность хода. С помощью поляризац. устройства можно свести направления колебаний в вышедших из кристалла волнах в одну плоскость и наблюдать их интерференцию (см. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ ПОЛЯРИЗОВАННЫХ ЛУЧЕЙ).

В кристаллах нек-рых классов симметрии вдоль каждого направления могут распространяться две эллиптически поляризованные волны (с противоположными направлениями обхода) — обе со своим показателем преломления. В направлении оптич. оси поляризация волн оказывается круговой, что приводит к вращению плоскости поляризации падающего на кристалл линейно поляризованного света.

В сильно поглощающих кристаллах линейно поляризованная волна расщепляется на две эллиптически поляризованные волны с одинаковым направлением обхода. В таких кристаллах наблюдается разл. поглощение волн, обладающих разной поляризацией.

Каждый кристалл обладает присущим ему комплексом кристаллооптич. св-в и величин, по к-рым он может быть идентифицирован. В прикладной К. разработаны разл. методы измерения этих величин (иммерсионный метод, коноскопия и др.).

Методы К. используют для получения и анализа поляризованного света, для создания оптических затворов, модуляторов, дефлекторов и др.

Физический энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1983.

КРИСТАЛЛООПТИКА

- часть физической оптики, изучающая законы и особенности распространения света в кристаллах и др. анизотропных средах. Характерные для таких сред явления - двойное лучепреломление, гиротропия, поляризация света, плеохроизм и т. п. Двупреломление, положившее начало К., открыто Э. Бартолином (Е. Bartholin) в 1669 на кристаллах кальцита. Вопросы поглощения и излучения света кристаллами рассматриваются в спектроскопии кристаллов. Влияние электрич. и магн. полей на оптические свойства кристаллов исследуется в электрооптике и магнитооптике.

В изотропных средах вектор электрич. индукции D связан с вектором электрич. поля Е световой волны соотношением , где - скалярная величина, зависящая от частоты (дисперсия частотная) и волнового вектора k (дисперсия пространственная). В анизотронных средах диэлектрич. проницаемость - тензор (с гл. значениями ), зависящий от направления. Следствием этого является наблюдаемая анизотропия оптич. свойств в кристаллах и все особенности распространения света в них, в частности зависимость фазовой скорости распространения волны и показателя преломления n от направления. Тензор магн. проницаемости в оптич. диапазоне длин волн в большинстве случаев может считаться равным 1 (немагн. кристаллы).

В отличие от изотропных тел, в кристаллах по заданному направлению N могут распространяться две плоские линейно поляризованные в разных плоскостях световые волны с волновыми векторами k_1,2 = (/c)n_1,2N (п N - волновая нормаль) и разл. фазовыми скоростями = c/n_1.2. Показатели преломления n₁ и п₂ определяются как корни осн. ур-ния К.- ур-ния Френеля:

Направления векторов поляризации этих волн и (рис. 1) и волновая нормаль N образуют тройку взаимно перпендикулярных векторов. Т. к. в анизотропных средах вектор D не совпадает по направлению с вектором Е, а вектор потока энергии ( Умова вектор) S=, лежащий в плоскости векторов E,D,N, перпендикулярен Е, то S не совпадает по направлению с вектором волновой нормали N. Вектор, направленный по S, а по абс. величине такой, что NS=i, наз. лучевым вектором. Т. о., в кристаллах есть два несовпадающих (в отличие от изотропных тел) направления - направление волновой нормали (фазовой скорости) и направление энергии (луча, лучевой скорости). Заменой , D Е, NS из ф-л, связывающих , D, Н, N, получаются ф-лы для , E,H,S - в этом заключается принцип двойственности в К.

В К. широкое применение для интерпретации оптич. свойств кристаллов находит метод оптич. поверхностей (волновых и лучевых). В соответствии с ур-нием (1) свойства кристалла могут быть геометрически описаны его оптич. индикатрисой - эллипсоидом с полуосями (т. н. поверхностью волновых нормалей, абс. значения радиусов-векторов к-рой по заданному направлению N равны значениям показателей преломления волн, идущих по этому направлению). Оси симметрии этого эллипсоида определяют три взаимно перпендикулярных главных направления в кристалле, а вначение его полуосей - главные значения тензора диэлектрич. проницаемости. Сечение индикатрисы плоскостью, проходящей через её центр и перпендикулярной заданному направлению N, является в общем случае эллипсом. Длины гл. полуосей этого эллипса равны показателям преломления, а их направления совпадают с направлением колебаний (вектора D в волне). Во всех точках кристалла оптич. индикатрисы имеют одинаковую ориентацию и одинаковые размеры полуосей, зависящие от симметрии кристалла.

Рис. 1. Расположение векторов N, Е, D, S плоских волн в кристаллах.

По числу разл. главных значений тензора (1, 2 или 3) кристаллы делятся на три группы в зависимости от типа сингонии (см. Сингония кристаллическая). Для кубич. кристаллов тензор вырождается в скаляр с одним гл. значением (), а эллипсоид - в сферу. Кристаллы этой группы по оптич. характеристикам не отличаются от изотропных тел (без учёта пространственной дисперсии). В кристаллах средних сингонии (гексагональной, тригональной и тетрагональной) оптич. индикатриса - эллипсоид вращения, имеющий два гл. значения ; и ось вращения, параллельную оси симметрии высшего порядка. В этом случае ур-ние Френеля в гл. системе координат (ось к-рой совпадает с гл. направлениями) распадается на два квадратных ур-ния

В таких кристаллах в каждом направлении могут распространяться две волны: обыкновенная с показателем преломления n₀, не зависящим от направления (откуда и название), и необыкновенная с показателем преломления п _е, зависящим от угла наклона вектора волновой нормали N к оси симметрии высшего порядка 1/n²_e= . В направлении =0 показатели преломления обеих волн совпадают, и в кристалле, как и в изотропном теле, распространяется одна волна; такое направление наз. оптической осью, а кристаллы гексагональной, тригональной и тетрагональной сингоний - одноосными. Поляризация волны, распространяющейся в направлении оптич. оси, может быть произвольной.

Разность показателей преломления волн с одним и тем же направлением волнового вектора, если считать гл. двупреломление п ₀ -п _е малым, определяется приближённой формулой -n₀ = (n_e-n₀)sin² . Направление колебаний в обыкновенной волне перпендикулярно плоскости, содержащей оптич. ось и волновой вектор (плоскости гл. сечения). Направление колебаний в необыкновенной волне лежит в плоскости гл. сечения. Вектор потока энергии обыкновенной волны совпадает по направлению с вектором волновой нормали, а необыкновенной волны- лежит в плоскости гл. сечения. Поверхность волновых нормалей в одноосных кристаллах распадается на две поверхности: сферу для обыкновенной волны и эллипсоид вращения для необыкновенной. Обе поверхности касаются друг друга в двух точках, лежащих на оптич. оси. Если п₀<п _е ( ), кристаллы наз. положительными, если n₀> п _е () - отрицательными (рис. 2).

Рис. 2. Сечение поверхности волновых векторов одноосных кристаллов.

Рис. 3. Поверхность волновых векторов двуосных кристаллов .

Часть поверхности волновых нормалей для триклинных, моноклинных и ромбических кристаллов представлена на рис. 3. Поверхность образована двумя оболочками, касающимися между собой в четырёх точках (в точке О и соответствующих точках в др. квадрантах), и обладает центром симметрии. В двух направлениях (наз. оптическими осями или бинормалями), идущих через начало координат и эти точки, показатели преломления п ₀ и п _е совпадают и двупреломление отсутствует. Кристаллы этих трёх низших сингоний наз. двуосными. Оптич. оси двуосных кристаллов перпендикулярны круговым сечениям оптич. индикатрисы, к-рая представляет собой трёхосный эллипсоид. Угол между оптич. осями находится по ф-ле

(принято считать ). Аналитически разность показателей преломления двух волн по направлению, к-рое составляет с оптич. осями углы и , определяется выражением

Т. к. гл. значения диэлектрич. проницаемости меняются в зависимости от частоты (длины волны), то меняются и направления гл. осей, а следовательно и угол между ними. Это явление наз. дисперсией оптических осей, характерно для моноклинных и три-клинных кристаллов, особенно в ИК-области спектра.

При преломлении света на границе с кристаллом в нём возникают две преломлённые волны, для каждой из к-рых выполняется обычный закон преломления, требующий непрерывности тангенциальной составляющей вектора волновой нормали N_t. Волновые нормали обеих преломлённых волн лежат в плоскости падения, а оба преломлённых луча (направления потока энергии) могут выходить из плоскости падения. Для кристаллов также существует угол падения света, при к-ром отражённый свет полностью поляризован ( Врюстера угол), однако, в отличие от изотропных тел, направление распространения отражённого света не обязательно перпендикулярно волновым нормалям или лучам кристалла.

Угол поворота плоскости поляризации линейно поляризованной волны при отражении от кристаллов зависит от азимута направления колебаний падающей волны более сложным образом, чем для изотропных сред.

При прохождении света через кристаллич. пластинку на выходе образуются два когерентных световых колебания с нек-рой разностью фаз ( п - разность показателей преломления, d - толщина пластинки, - длина волны), поляризованные в двух взаимно перпендикулярных направлениях (наз. гл. направлениями кристаллич. пластинки). Волна на выходе оказывается эллиптически поляризованной, причём эллипс поляризации повёрнут на нек-рый угол относительно гл. направлений.

Рис. 4. Построение на сфере Пуанкаре.

В К. при изучении поляризации света часто эллиптическое световое колебание с параметрами и изображается точкой на сфере Пуанкаре (рис. 4) с координатами: 2 - широта и 2 - долгота ( - угол ориентации большой полуоси эллипса колебаний относительно выбранного направления Ox,a tg - отношение полуосей Ь/а). Точкам на экваторе (=0) соответствуют линейно поляризованные волны ( Ь/ а=0); точкам полюсов - циркулярно поляризованные волны с противоположным направлением обхода. С помощью сферы Пуанкаре решается задача об изменении характера поляризации света, прошедшего через кристаллич. пластинку, создающую разность фаз , когда гл. направление пластинки составляет с выбранным направлением Ох угол . Новая точка на сфере Пуанкаре, изображающая поляризацию вышедшего света, получается из исходной (изображающей поляризацию падающего) путём поворота сферы на угол вокруг оси, лежащей в экваториальной плоскости на долготе 2. Если с помощью выходного поляризатора (анализатора) выделить составляющие колебания обеих волн, прошедших через кристаллич. пластинку по одному направлению, то они будут интерферировать. Интенсивность света в зависимости от взаимной ориентации входного поляризатора, пластинки, анализатора описывается ф-лой

где I₀ - интенсивность падающего на пластинку света, и - углы между направлением колебаний, пропускаемых поляризатором и анализатором, с гл. направлением кристаллич. пластинки. При повороте пластинки на полный оборот в случае скрещенных поляризатора и анализатора интенсивность проходящего монохроматич. света 4 раза обращается в нуль (погасание кристалла). При освещении белым светом компонента (белая компонента, не зависящая от длины волны) при повороте анализатора на 360° 2 раза обращается в нуль и 2 раза принимает значения 1. Зависящая от разности фаз цветная компонента sin sin sin² 4 раза за оборот принимает экстремальные значения. Это приведёт к тому, что будет происходить смена двух дополнительных интерференционных окрасок, макс. насыщенность к-рых наблюдается при параллельных или скрещенных поляризаторах и или (диагональное положение). Погасание кристаллов наступает, когда гл. направления совпадают с направлениями колебаний поляризатора и анализатора. Поскольку ориентация гл. осей оптич. индикатрисы в кристаллах ромбической и более высокой симметрии полностью определена их элементами симметрии, погасание таких кристаллов оказывается "прямым", т. е. совпадает по направлению с направлением проекций осей симметрии кристалла на плоскость пластинки. Для триклинных и моноклинных кристаллов направление погасания не совпадает в общем случае с к.-л. кристаллографич. направлениями. Этот случай наз. косым погасанием. Фигуры интерференции, к-рые получаются в сходящемся свете, наз. коноскопическими фигурами. Их вид зависит от ориентации кристаллич. пластинки. Наблюдения коноскопических картин дают возможность, кроме ориентировки, в случае одноосных кристаллов установить знак кристалла, а в случае двуосного кристалла измерить величину угла между оптич. осями.

Интерференция в кристаллич. пластинках используется для создания мн. кристаллооптич. приборов: компенсаторов оптических, интерференционно-поляризац. фильтров и т. п. Простейшим из них является кварцевый клин - пластинка из кристаллич. кварца, ориентированная так, что оптич. ось кварца параллельна поверхности клина и перпендикулярна его длинной стороне. Таким клином можно с помощью компенсации измерять двупреломление в кристаллич. пластинках. Каждой разности хода в определ. месте клина соответствует (в стандартных условиях освещения) своя интер-ференц. окраска - шкала цветов. Двупреломление можно измерять и с помощью компенсатора Берека - наклоняемой пластинки из кальцита, вырезанной перпендикулярно оптич. оси.

Показатели преломления являются осн. оптич. константами кристаллов и часто служат их диагностич. признаком. О методах измерения п см. в ст. Рефрактометрия, Рефрактометр, Иммерсионный метод. Особую роль в К. играют исследования кристаллов в поляризац. микроскопе с помощью универсального вращающегося столика Фёдорова, к-рый позволяет наблюдать кристаллич. препарат в любом направлении и вращать его вокруг любой проходящей через него оси. Разработанная Фёдоровым методика позволяет, наблюдая погасания кристаллов при поворотах, определять ориентацию осей индикатрисы кристаллов относительно его граней, плоскостей спайности, двойниковых плоскостей, находить законы двойникования, измерять углы оптических осей, показатели преломления кристаллов (определяя смещение изображения при наклонном прохождении света через кристаллич. пластинку известной толщины).

Поглощающие кристаллы. Для описания свойств поглощающих кристаллов вводят симметричный тензор проводимости , связывающий вектор плотности тока j и напряжённость поля Е: . Ур-ния связи имеют вид с комплексным симметричным тензором диэлектрич. проницаемости

Гл. оси тензоров в кристаллах моноклинной и триклинной сингоний не совпадают, поэтому комплексный тензор не приводится к диагональному виду. В кристаллах с симметрией не ниже ромбической гл. система вещественных координат существует, и в ней для затухающих плоских волн с комплексным показателем преломления вновь справедливо ур-нпе Френеля

где - показатель поглощения. И здесь каждому направлению волнового вектора соответствуют два теперь комплексных показателя преломления. Волны в поглощающих кристаллах, вообще говоря, поляризованы эллиптически. Эллипсы колебаний подобны, скрещены и обходятся в одном направлении. В кристаллах ср. сингоний (одноосных) однородные волны поляризованы линейно. В слабопоглощающих кристаллах можно пренебречь квадратом показателя поглощения по сравнению с единицей. Если дополнительно пренебречь и эллиптичностью волн, то показатель поглощения даётся ф-лой

где и т. д.) - гл. скорости волн, d - орт вектора D, определяемый вещественными , , . Показатель поглощения в кристаллах, в отличие от изотропных сред, зависит от состояния поляризации волн - т. н. дихроизм. Как и в прозрачных кристаллах, направления, для к-рых комплексные показатели преломления совпадают, наз. оптич. осями. Число таких осей, характер поляризации волн, распространяющихся в этих направлениях, могут быть различными, что и служит признаком для полной классификации поглощающих кристаллов. В частности, в ром-бич, кристаллах в общем случае насчитываются 4 круговые оси, вдоль к-рых распространяются циркулярно поляризованные волны.

Ур-ния связи типа D_i= являются частным случаем более общей линейной связи D_i=+, учитывающей пространственную неоднородность напряжённости поля в световой волне (см. Дисперсия пространственная). Тензор 3-го ранга антисимметричен по первым двум индексам, а в отсутствие поглощения и веществен Для плоской волны с волновым вектором k=wn/c имеем . Вместо тензора вводят псевдотензор гирации (здесь - полностью антисимметричный единичный тензор). Среды, для к-рых псевдотензор отличен от нуля, наз. оптически активными. Симметрия кристаллов накладывает ограничения на компоненты псевдотензора . Так, наличие центра симметрии приводит к обращению в нуль всех компонент псевдотензора . Среди оставшихся ацентрических классов по условиям симметрии оптическая активность отсутствует ещё в трёх классах (см. Симметрия кристаллов). Для оставшихся 18 классов симметрии в кристаллофиз. системе координат существует 11 разл. видов псевдотензора гирации. В таких средах, обладающих естеств. активностью в каждом направлении, могут распространяться с разными скоростями две эллиптически поляризованные волны (см. Гиротропия).

В направлении оптич. оси распространяются циркулярно поляризованные волны с разными скоростями противоположного направления обхода. Это приводит на выходе к повороту плоскости поляризации первоначально линейно поляризованной волны. Оптич. активность проявляется в этом направлении во вращении плоскости поляризации. Кристаллы энантиоморфных классов симметрии 1, 2, 222, 3, 4, 6, 32, 422, 622, 23, 432 могут существовать в двух модификациях (правые и левые, см. Энаптиоморфизм). Оптич. <активность в таких кристаллах характеризуется противоположными знаками вращения. В кристаллах вращение вдоль оси запрещено симметрией и активность проявляется только в др. направлениях. В кристаллах классов т и тт2вращение вдоль оптич. осей возможно, если оптич. оси не лежат в плоскости симметрии. Вращение вдоль осей равно но величине и противоположно по знаку. У кристаллов с симметрией 3m, 4mm, 6mm (планарные классы ср. сингоний) псевдотензор гирации полностью антисимметричен. Кристаллы этих классов наз. слабогиротропными. Вектор Е обыкновенной волны в них поляризован линейно, а необыкновенной - эллиптически. Если оптически активный кристалл является поглощающим, то не только тензор диэлектрич. проницаемости, но и псевдотензор гирации становятся комплексными. Действит. часть описывает циркулярное (в общем случае - эллиптическое) двупреломление, а мнимая часть - циркулярный дихроизм (в общем случае - эллиптич. дихроизм).

Лит.: Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Электродинамика сплошных сред, 2 изд., М., 1982; Шубников А. В., Основы оптической кристаллографии, М., 1958; Борн М., Вольф Э., Основы оптики, пер. с англ., 2 изд., М., 1973; Стойбер Р., Морзе С., Определение кристаллов под микроскопом, пер. с англ., М., 1974; Современная кристаллография, т. 4, М., 1981, гл. 8; см. также лит. при ст. Кристаллография. Б. Н. Гречушников.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1988.