КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ

КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ

       

раздел квант. теории, посвящённый изучению систем, состоящих из трёх и большего числа ч-ц. В квант. механике система из N ч-ц описывается при помощи волн. ф-ции, зависящей как от координат всех ч-ц, так и от всех др. величин, необходимых для задания состояния каждой ч-цы («внутр. переменных»). Если рассматривается такая система, к-рая явл. частью большой подсистемы, то описание производится с помощью матрицы плотности.

Точное решение задачи мн. тел в квантовой, как и в классической, теории встречает чрезвычайно большие затруднения. Однако можно указать нек-рые общие св-ва симметрии, вытекающие из принципа Паули. Волн. ф-ция для систем, состоящих из нек-рого числа одинаковых (тождественных) ч-ц с полуцелым спином (фермионов), явл. антисимметричной, т. е. её знак изменяется при перестановках переменных (включая внутренние) двух ч-ц. Для систем ч-ц с целым спином — бозонов такая перестановка не меняет знака волн. ф-ции, т. е. волн. ф-ция симметрична. Различие в св-вах симметрии фермионов и бозонов определяет качеств. отличие в поведении систем, состоящих из ч-ц этих двух типов, в частности их распределение по состояниям (уровням энергии), даваемое Бозе — Эйнштейна статистикой (для бозонов) или Ферми — Дирака статистикой (для фермионов). В бозе-системах в данном квант. состоянии может находиться произвольное число ч-ц, и поэтому при абс. темп-ре Т ® 0 (при отсутствии источников возбуждения) все бозоны будут скапливаться на низшем возможном уровне энергии. В ферми-системах каждое квант. состояние может занимать лишь одна ч-ца и поэтому они в сходных условиях заполняют все уровни от низшего до нек-рого граничного (уровня Ферми ?F).

Приближённые методы, привлекаемые для решения проблемы мн. тел, приобрели значительно большую эффективность после того, как началось широкое использование представлений квантовой теории поля (КТП). Так, при рассмотрении тв. тела можно принять его состояние при нулевой абс. темп-ре за «вакуумное», поскольку энергия такого состояния минимальна. Возбуждение тв. тела, в частности при его нагревании, можно рассматривать как рождение элем. возбуждений — квантов, каждый из к-рых несёт определённую энергию, импульс и спин. Такие элем. возбуждения наз. квазичастицами (в отличие от «истинных» ч-ц — структурных элементов кристалла, напр. атомов, число к-рых неизменно). Привлечение методов КТП, позволяющих представить эволюцию системы как рождение, вз-ствие и взаимные превращения разл. квазичастиц, оказалось весьма плодотворным для физики тв. тела. Примером может служить создание теории сверхпроводимости.

Несколько иной подход удобно использовать при описании многоэлектронных атомов. Сначала принимается, что эл-ны независимы, т. е. что каждый из них испытывает лишь влияние нек-рого т. н. самосогласованного поля, в к-ром эффективно учитываются как кулоновское поле ядра, так и усреднённое поле вз-ствия между эл-нами. При таком подходе задача о движении каждого из эл-нов (одноэлектронная задача) решается относительно просто. Получаются, как и обычно в квант. механике, наборы возможных состояний с разл. значениями квант. чисел, определяющих энергии, моменты кол-ва движения и др. физ. величины. В соответствии с принципом Паули заполнение эл-нами уровней энергии происходит так, что вначале исчерпываются все возможные наборы квант. чисел в состоянии с наинизшей возможной энергией, затем заполняются более высокие уровни и т. д., пока не будут размещены все эл-ны. При этом в осн. состоянии системы окажутся заполненными все уровни энергии, начиная от наинизшего вплоть до нек-рого предельного значения ?F; такое состояние можно считать «вакуумным». Все более высокие уровни остаются вакантными. Дополнит. влияние неучтённых при этом вз-ствий можно рассматривать квантовополевыми методами. Эти вз-ствия могут приводить к реальному или виртуальному перебросу эл-нов с заполненных уровней на свободные (вакантные), что можно описывать как рождение пары: «над вакуумом» возникает ч-ца, а на освободившемся уровне появляется «дырка», к-рая играет роль античастицы. Рождение таких пар и их аннигиляция могут быть изображены Фейнмана диаграммами. Если вероятность одноврем. образования мн. пар мала, можно упростить задачу, ограничившись учётом рождения и аннигиляции лишь небольшого их числа.

Квантовополевые методы, перенесённые в физику многочастичных систем, оказались здесь даже более эффективными, чем в породившей эти методы физике элем. ч-ц. Более того, КТП получила в новой области такое дальнейшее развитие, к-рое может оказаться полезным и для теории элем. ч-ц.

Физический энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1983.

КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ

- совокупность теоретич. методов, применяемых для описания квантовомеханич. систем, состоящих более чем из двух частиц. Поскольку Шрёдингера уравнение для таких систем не может быть решено точно, речь идёт о приближённых методах. <Ур-ние Шрёдингера при решении квантовомеханич. задач в системах мн. частиц обычно используется в представлении вторичного квантования. Координатное и импульсное представления в этом случае менее удобны, поскольку число измерений пространства, в к-ром пишется это ур-ние, растёт с увеличением числа частиц. <Следует различать методы, применяемые для описания систем из конечного числа частиц, и методы описания макроскопич. тел. В первом случае типичной является постановка задачи о нахождении волновых ф-ций и уровней энергии системы. Во втором случае подразумевается переход к "термодинамич. пределу", когда объём тела и число частиц в нём формально устремляются к бесконечности с сохранением конечной плотности числа частиц. Типичной постановкой задачи в этом случае является определение энергии осн. состояния системы и распределения частиц по импульсам, нахождение спектра элементарных возбуждений ( квазичастиц )и кинетических коэффициентов системы. <Основой ряда методов теории мн. частиц является возмущений теория, применяемая в случаях, когда потенц. энергия взаимодействия между частицами достаточно мала. Для двух частиц, взаимодействующих посредством потенциала с конечным радиусом действия, условие этой малости состоит в малости амплитуды рассеяния по сравнению с радиусом действия. Для частиц, взаимодействующих по закону Кулона, оно сводится к требованию малости потенц. энергии по сравнению с кинетической на расстоянии порядка длины волны. Формальное применение теории возмущений приводит к выражениям для характеризующих систему величин в виде ряда по целым степеням потенц. энергии. В нек-рых случаях члены этого формального ряда оказываются бесконечными - содержащими расходящиеся интегралы, что обычно свидетельствует об ошибочности предположения о разложимости по целым степеням потенциала, даже при условии применимости теории возмущений для взаимодействия двух частиц. В этом случае для получения конечного результата приходится суммировать бесконечные последовательности наиболее расходящихся членов ряда. Характерным примером является вычисление термодинамич. ф-ций системы заряж. частиц, где для получение конечного результата необходимо учитывать экранировку потенциала каждой из частиц остальными частицами. Др. пример - вычисление энергии осн. состояния слабонеидеального бозе-газа, в к-ром отличное от нуля значение энергии возникает только при учёте взаимодействия. В обоих случаях разложение термодинамич. ф-ций системы содержит дробные степени потенциала взаимодействия. Своеобразна ситуация в сверхпроводниках, где термодинамич. ф-ции электронного газа содержат экспоненциально малые по потенциалу взаимодействия члены. Эти члены исчезают в любом порядке теории возмущений, однако именно с ними связан сверхпроводящий фазовый переход. <Наиб. совершенной формой теории возмущений является диаграммная техника. Она применяется чаще всего для вычисления ф-ции Грина системы, полюсы к-рой определяют энергии квазичастиц, а интеграл от к-рой по частотам - распределение частиц системы по импульсам (см. Грина функция в статистической физике). Каждый член ряда теории возмущений изображается в диаграммной технике в виде совокупности нескольких диаграмм Фейнмана, для аналитич. записи к-рых существуют стандартные правила (см.Фейнмана диаграммы). Диаграммная техника оказывается особенно эффективной для упомянутого выше суммирования наиболее расходящихся членов ряда теории возмущений. Разл. диаграммы в одном и том же порядке теории возмущений имеют разл. физ. смысл и могут обладать разной степенью расходимости. Суммирование расходимостей в этом случае сводится к имеющему наглядный физ. смысл выделению определ. графич. последовательностей диаграмм. Важное преимущество диаграммной техники - возможность корректной оценки отброшенных членов и тем самым определения условий применимости сделанных приближений. <Существуют нек-рые возможности вычисления ф-ций Грина без применения теории возмущений. В теории имеются точные соотношения, выражающие ф-ции Грина более низкого порядка через ф-ции более высокого порядка (одночастичную через двухчастичную и т. д.). Если на основании тех или иных физ. соображений удаётся выразить многочастичные ф-ции через одночастич-ные - произвести "расцепление", то для одночастичной ф-ции получается замкнутое ур-ние, допускающее непосредств. решение. При таком подходе метод ф-ции Грина близок к методу цепочек квантовых ф-ций распределения (см. Боголюбова уравнения). Большие возможности открывает запись ф-ций Грина в виде бесконечнократного функционального интеграла. Для приближённого вычисления последнего существуют методы, принципиально отличные от теории возмущений, напр., перевала метод. Если условие применимости теории возмущений для взаимодействия пар частиц не выполняется, но система является настолько разреженной, что амплитуда рассеяния двух частиц мала по сравнению с межчастичным расстоянием, применимо приближение вириального разложения. Характеризующие систему физ. величины получаются в виде ряда по степеням плотности числа частиц, причём последоват. члены ряда соответствуют взаимодействию пар, троек и т. д. частиц и выражаются через амплитуды парного рассеяния и амплитуды рассеяния более высоких порядков. <В нек-ром смысле обратная ситуация имеет место в тяжёлых атомах, где создаваемый электронами электрич. потенциал медленно меняется на расстоянии порядка длины волны электрона. Электроны в таком атоме можно рассматривать как квазиклассич. ферми-газ, находящийся во внеш. поле, определяющемся самим распределением электронов. Для этого потенциала получается замкнутое ур-ние Томаса - Ферми (см. Томаса - Ферми метод). В том случае, когда при постановке многочастичной задачи не удаётся найти малый параметр, используя малость к-poro можно искать приближённое решение, важную роль играют вариац. методы. Эти методы основаны на том обстоятельстве, что ср. энергия системы, вычисленная для нек-рой нормированной волновой ф-ции, будет минимальна при вычислении по истинной волновой ф-ции осн. состояния. Аналогично волновая ф-ция первого возбуждённого состояния имеет мин. энергию среди всех ф-ций, ортогональных к ф-ции осн. состояния, и т. д. Простейший вариант применения этого метода состоит в подборе нек-рой ф-ции, удовлетворяющей определённым общим требованиям и зависящей от нескольких параметров. Минимизация энергии по этим параметрам может дать достаточно точные результаты, особенно в системе из небольшого числа частиц. Точность зависит при этом от удачного выбора вида "пробной" ф-ции, близкого к виду истинной волновой ф-ции. <В применении к атомным системам хорошую точность даёт метод самосогласованного поля (Хартри - Фока метод). Этот метод состоит в том, что волновая ф-ция системы электронов записывается в виде линейной комбинации произведений ф-ции, каждая из к-рых зависит от координат только одного электрона. Линейные комбинации подбираются таким образом, чтобы удовлетворитьнеобходимым условиям симметрии, соответствующим, напр., определ. значениям орбитального момента атома. Для самих же одночастичных ф-ций в результате минимизации энергии получается нелинейное ур-ние типа ур-ния Шрёдингера с потенциалом, зависящим от самих волновых ф-ций. Можно сказать, что электрон движется в самосогласованном поле, определяемом всеми остальными электронами. В отличие от уравнения Томаса - Ферми, для этого потенциала, однако, не предполагается применимость квазиклассического приближения. Большие успехи достигнуты при исследовании электронных свойств металлов. Наиб. интерес представляет расчёт энергетич. спектров электронов в зоне проводимости. Важную роль здесь играет метод псевдопотенциала (см. Зонная теория). В простейшем варианте этого метода волновые ф-ции электронов заполненных зон принимаются равными волновым ф-циям свободных ионов, а волновые ф-ции электронов в зоне проводимости выбираются в виде линейной комбинации плоских волн и волновых ф-ций заполненных оболочек так, чтобы эти комбинации были ортогональны к волновым ф-циям заполненных оболочек. В результате задача сводится к ур-нию типа ур-ния Шрёдингера, в к-ром, однако, вместо потенциала стоит линейная комбинация обычного самосогласованного потенциала и нек-рого связанного с упомянутой ортогонализацией выражения, зависящего от энергии состояния и волновых ф-ций электронов в ионах. Эту сумму и наз. псевдопотенциалом. Он оказывается относительно малым из-за компенсации указанных двух членов, так что ур-ние можно решать по теории возмущений. Это позволяет получить весьма полную информацию о свойствах конкретных металлов. В частности, малость псевдопотенциала позволила объяснить известную эмпирически близость мн. наблюдаемых свойств электронов в металлах к свойствам невзаимодействующих электронов. Лит.: Г о м б а ш П., Проблема многих частиц в квантовой механике, пер. с нем., М., 1952; Абрикосов А. А., Горьков Л. П., Д з я л о ш и н с к и й И. К., Методы квантовой теории поля в статистической физике, М., 1962; Xаррисон У., Псевдопотенциалы в теории металлов, пер. с англ., М., 1968; Mapч Н., Янг У., Сампантхар С., Проблема многих тел в квантовой механике, пер. с англ., М., 1969; Займан Дж., Современная квантовая теория, пер. с англ., М., 1971; Л и п к и н Г., Квантовая механика, пер. с англ., М., 1977; Л и ф ш и ц Е. М., П и т а е в с к и й Л. П., Статистическая физика, ч. 2, М., 1978. Л. П. Питаевский.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1988.