ВОССТАНОВЛЕНИЯ ТЕОРИЯ

- раздел теории вероятностей, описывающий широкий круг явлений, связанных с отказом и восстановлением элементов какой-либо системы. Основные понятия в В. т.- понятия процесса восстановления и уравнения восстановления. Процесс восстановления описывается с помощью классич. схемы сумм независимых случайных величин следующим образом. Пусть - последовательность независимых, неотрицательных, одинаково распределенных случайных величин с функцией распределения F(x). Пусть . Процесс восстановления определяется следующим образом

Если интерпретировать как длительности работы к.-л. последовательно заменяемых элементов, то случайная величина N_t равна числу замен (или восстановлений) этих элементов за время t. При исследовании большую роль играет функция восстановления . Эта функция удовлетворяет уравнению восстановления:

В случае, когда имеет место важный частный случай процесса восстановления - пуассоновский процесс, в к-ром

и

Процесс восстановления и уравнение восстановления (2) имеют большое значение при исследовании различных задач как прикладного, так и теоретич. характера в теории массового обслуживания, в теории надежности, в теории запасов, в теории ветвящихся, процессов и т. п. Значительное количество результатов в В. т. связано с изучением асимптотических при свойств функции восстановления . В элементарной теореме восстановления утверждается, что

где . Д. Блэкуэлл (D. Blackwell, 1948) доказал (см. [1]), что в случае, если распределение не сосредоточено на к.-л. арпфметич. решетке вида d>0, то при любом h>0

Имеются многочисленные результаты, обобщающие и уточняющие (3) и (4) в различных направлениях. С помощью результатов типа (3) и (4) изучаются асимптотич. свойства решения Х(t) уравнения типа восстановления:

в к-ром свободный член K(t).есть нек-рая функция, отличная от F(t).и удовлетворяющая тем или иным условиям. Из определения (1) вытекает соотношение

Поскольку предельные теоремы для сумм независимых слагаемых хорошо изучены, то соотношение (5) позволяет получать предельные теоремы для числа восстановлений Nt.

Имеется большое количество обобщений изложенной выше схемы. Одно из таких обобщений, связанное с полумарковскими процессами, дает так наз. марковский процесс восстановления, в к-ром система имеет какое-то количество состояний и времена работы отдельных элементов являются случайными величинами, зависящими от состояний системы до и после момента восстановления.

Лит.:[1]Кокc Д. Р., Смит В. Л., Теория восстановления, пер. с англ., М., 1967. Б. А. Севастьянов.