- ВЕРБАЛЬНАЯ ПОДГРУППА
- подгруппа
группы G, порожденная всевозможными значениями всех слов из нек-рого множества 
когда 
независимо друг от друга пробегают всю группу G. В. п. нормальна; конгруэнция, определяемая с помощью В. п. на группе, является вербальной конгруэнцией (см. также Алгебраических систем многообразие).
Примеры В. п.: 1) коммутант
группы 
, определяемый коммутатором 
; 2) n-й коммутант 
; 3) члены нижнего центрального ряда
где
- В. п., определяемая коммутатором
4) степень
группы 
, определяемая словом 
.
При любом гомоморфизме
справедливо равенство. 
. В частности, 
- вполне характеристическая подгруппа в G. Обратное верно для свободных групп, но не в общем случае: пересечение двух В. п. может п не быть В. п. Для прямого произведения групп
что, однако, уже неверно при переходе к декартову произведению.
Особо важную роль играют В. п. свободной группы Xсчетного ранга. Они составляют (дедекиндову) подре-шетку решетки всех ее подгрупп. В. п. обладает свойством "монотонности": если
и 
, где 
(
означает, что 
является нормальным делителем группы X), то и 
.В частности, 
влечет 
.
Лит.:[1] Курош А. Г., Теория групп, 3 изд., М., 1967; [2] Нейман X., Многообразия групп, пер. с англ., М., 1969. О. Н. Головин.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.
