ХОПФА - РИНОВА ТЕОРЕМА

ХОПФА - РИНОВА ТЕОРЕМА

если М - связное риманово пространство с функцией расстояния р и Леви-Чивита связностью, то следующие утверждения равносильны:
1) М полно;
2) для каждой точки экспоненциальное отображениеeхр p определено на всем касательном пространстве М р;
3) каждое ограниченное по отношению к р замкнутое множество компактно.
Следствие: любые две точки р, можно соединить на Мгеодезия, длины Установлена X. Хопфом и У. Риновым [1].
Обобщение X.- Р. т. (см. [4]): если р, q - две точки в М, то либо существует линия, соединяющая их кратчайшим образом, либо существует выходящая из ргеодезич. . со следующими свойствами: 1) Lгомеоморфна 2) если последовательность точек, лежащих на L, не имеет предельных точек на L, то она не имеет предельных точек и в М, т. е. Lзамкнуто в М;3) Lсодержит кратчайшую связь между любыми двумя точками на L; 4) для каждой точки справедливо: 5) длина Lконечна и не превосходит При этом функция не обязана быть симметричной, и каждую точку можно соединить кратчайшим образом с любой точкой из нек-рой окрестности U р не обязательно однозначно. Следствие: если в Мне существует ограниченных лучей, то каждое ограниченное множество в Мкомпактно.

Лит.:[1] Норf H., Rinow W., лComm. math. helv.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Полезное


Смотреть что такое "ХОПФА - РИНОВА ТЕОРЕМА" в других словарях:

  • Теорема Хопфа — Ринова — утверждает, что для риманова многообразия M следующие утверждения эквивалентны: M ― полно (т.е. риманово многообразие полное как метрическое пространство); для каждой точки экспоненциальное отображение определено на всем Tp (где Tp ― касательное… …   Википедия

  • Теорема Хопфа ― Ринова — утверждает, что для риманова многообразия M следующие утверждения эквивалентны: M ― полно (т.е. риманово многообразие полное как метрическое пространство); для каждой точки экспоненциальное отображение определено на всем Tp (где Tp ― касательное… …   Википедия

  • Теорема Хопфа-Ринова — …   Википедия

  • Теорема Хопфа — Ринова утверждает, что для риманова многообразия следующие утверждения эквивалентны: ― полно (т.е. риманово многообразие полное как метрическое пространство); для каждой точки экспоненциальное отображение определено на всем (где …   Википедия

  • ПОЛНОЕ РИМАНОВО ПРОСТРАНСТВО — риманово пространство с функцией расстояния r, полное как метрич. пространство с метрикой r. Пусть М связное риманово пространство со связностью Леви Чивита, тогда следующие три утверждения эквивалентны: а) М полно; б) для каждой точки… …   Математическая энциклопедия

  • Кратчайшая — кривая в метрическом пространстве, соединяющая две его точки и не превосходящая по длине любую другую кривую с теми же концами. Связанные определения Пространство с внутренней метрикой, у которого для любых двух точек существует соединяющая их… …   Википедия

  • Внутренняя метрика — Внутренняя метрика  тип метрик такой, что для любой пары точек есть точка, находящаяся почти на полпути между ними. Содержание 1 Определение 2 Связанные определения 3 …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»