ФРЕШЕ ПРОСТРАНСТВО

- полное метризуемое локально выпуклое топологическое векторное пространство. Банаховы пространства доставляют примеры Ф. п., однако многие важные функциональные пространства являются Ф. п., не являясь вместе с тем банаховыми. IV числу таковых относятся: пространство Шварца всех бесконечно дифференцируемых комплексных функций на Rⁿ, убывающих на бесконечности вместе со всеми производными быстрее любого многочлена, с топологией, задаваемой системой полунорм

где и - целочисленные неотрицательные векторы; пространство Н(D)всех голоморфных функции на нек-ром открытом подмножестве Dкомплексной плоскости с топологией равномерной сходимости на компактных подмножествах Dи т. д.
Замкнутое подпространство Ф. п. является Ф. п.; факторпространство Ф. п. по замкнутому подпространству является также Ф. п.; Ф. п. является бочечным пространством, и потому для отображений из Ф. п. в локально выпуклые пространства оказывается верной Банаха- Штейнхауза теорема. Если отделимое локально выпуклое пространство является образом Ф. я. при открытом отображении, то оно само является Ф. п. Взаимно однозначное непрерывное линейное отображение Ф. п. на Ф. п. есть изоморфизм (аналог теоремы Банаха).
Названо в честь М. Фреше (М. Frechet).

Лит.:[1] Бурбаки Н., Топологические векторные пространства, пер. с франц., М., 1959; [2] Робертсон А., Робертсон В., Топологические векторные пространства, пер. с англ., М., 1967.
В. М. Тихомиров.