ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ ТЕНЗОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ

локально выпуклых пространств E₁ и Е ₂ - локально выпуклое пространство, обладающее свойством универсальности по отношению к заданным на билинейным операторам с нек-рым условием непрерывности. Точнее, пусть - нек-рый класс локально выпуклых пространств и для каждого задано подмножество Т(F)множества рездельно непрерывных билинейных операторов из в F. Тогда Т. т. п. E₁ и Е ₂ (относительно класса Т(F))наз. локально выпуклое пространство вместе с оператором обладающее следующим свойством: для любого существует единственный непрерывный линейный оператор такой, что Таким образом, если ситуация позволяет говорить о функторе то определено как представляющий объект этого функтора.
Во всех известных (1985) примерах содержит поле комплексных чисел а содержит все билинейные функционалы вида переводящие ( х, у )в i(x) g(y). В этом случае, если Т. т. п. существует, то в есть плотное подпространство, к-рое можно отождествить с пространством алгебраического тензорного произведения;при этом
Если состоит из всех раздельно (соответственно, совместно) непрерывных билинейных операторов, то Т. т. п. наз. индуктивным (соответственно, проективным). Наиболее важно проективное Т. т. п. Пусть { р _i} - определяющие семейства полунорм в Е _i, i=l, 2; через p обозначается топология в определенная семейством полунорм

Тогда если - класс всех, соответственно, всех полных локально выпуклых пространств, то проективное Т. т. п. E₁ и Е ₂ существует и его локально выпуклое пространство есть с топологией соответственно, его пополнение.
Если E_i - банаховы пространства с нормами р _i, i=l, 2, то - норма в пополнение но к-рой обозначается через Элементы имеютдля каждого представление

где

Если снабдить более слабой, чем топологией с помощью семейства полунорм

где Vи W - поляры единичных шаров относительно р₁ и р ₂, то возникает Т. т. п., иногда наз. слабым. Локально выпуклые пространства E₁,обладающие тем свойством, что для любого Е ₂ обе топологии в совпадают, образуют важный класс ядерных пространств.
Проективное Т. т. п. связано с понятием свойства аппроксимации: локально выпуклое пространство Е ₁ обладает свойством аппроксимации, если для каждого предкомпактного множества и окрестности нуля Uсуществует непрерывный оператор конечного ранга такой, что для всех Все ядерные пространства обладают свойством аппроксимации. Банахово пространство Е ₁ обладает свойством аппроксимации тогда и только тогда, когда для любого банахова пространства Е ₂ оператор однозначно определенный равенством имеет нулевое ядро. Построено [3] сепарабельное банахово пространство без свойства аппроксимации (и тем самым доказано существование банаховых пространств без базиса Шаудера, поскольку последние всегда имеют свойство аппроксимации,- т. о. отрицательно решена т. н. лпроблема базиса