СВОБОДНОЕ МНОЖЕСТВО

в векторном пространстве Х над полем K - то же, что линейно независимая система векторов из X, т. е. множество элементов , такое, что соотношение , где для всех кроме конечного числа индексов t,влечет для всех t. Несвободное множество наз. также з а в и с и м ы м.

С в о б о д н о е м н о ж е с т в о в топологическом векторном пространстве X над полем К(топологически свободное множество) - множество такое, что для любого замкнутое подпространство, порожденное точками , не содержит а _s. Топологически С. м. является С. м. векторного пространства; обратное неверно. Напр., в нормированном пространстве Снепрерывных функций на [0, 1] функции , образуют топологически С. м. в отличие от функций (поскольку хсодержится в замкнутом подпространстве, порожденном ).

Совокупность всех (топологически) С. м. в X, вообще говоря, не индуктивна относительно включения; кроме того, она не обязательно содержит максимальное топологически С. м. Напр., пусть X - пространство над , образованное непрерывными функциями и наделенное отделимой топологией: соответствующая фундаментальная система окрестностей нуля в Xсостоит из уравновешенных поглощающих множеств всюду вне (зависящего от f) открытого множества меры . Тогда каждый непрерывный линейный функционал равен нулю и в Xне существует максимального С. м.

Для того чтобы Абыло (топологически) С. м. в ослабленной топологии s( Х, X* )в X, необходимо и достаточно, чтобы для каждого t существовал элемент такой, что для всех Для локально выпуклого пространства С. м. в ослабленной топологии является С. м. и в исходной топологии.

М. И. Войцеховский.