РАСШИРЕНИЯ ОБЛАСТИ ПРИНЦИП

, п р и нц и п К а р л е м а н а: гармоническая мераw (z, a, D)дуг a границы Г области Dможет только возрастать при расширении области Dчерез дополнительные дуги . Точнее, пусть граница Г области Dна плоскости комплексного переменного z состоит из конечного числа жордановых кривых, a - часть Г, состоящая из конечного числа дуг Г, и пусть область D' есть р а с ш и р е н и е о б л а с т и Dчерез дополнительные дуги , то есть DМ D' и a есть часть границы Г ' области D'. Тогда для гармонич. мер справедливо неравенство , причем знак равенства здесь имеет место только в случае D'=D.P. о. п. справедлив и для гармонич. меры относительно областей евклидова пространства , или

Р. о. п. находит важные применения в различных ситуациях, связанных с оценками гармонич. меры. Напр., еще Т. Карлеман [1] дал при помощи Р. о. п. решение следующей п р о б л е м ы К а р л е м а н а - М и й ю. Пусть граница Г односвязной области Dсостоит из конечного числа жордановых дуг, точка zрасположена на Г или - круг радиуса Rс центром z,aa.- часть Г, попавшая в Требуется найти оценку снизу для гармонич. меры w (z, a, D_R), зашгсящую только от R и Решение выражается неравенством

(1)

где Rq(R) - сумма длин дуг пересечения

Поскольку , то

(2)

Имеются обобщения проблемы Карлемана - Мийю и уточнения формул (1), (2) (см. [3]). Р. о. п. позволяет доказать также Линделёфа теоремы. Многочисленные применения Р. о. п. и формул типа (1), (2) дал А. Мийю (см. [2], а также [3], [4]).

Лит.:[1] C а r 1 е m а n Т., "Ark. Mat. Astron. Fys.", 1921, v. 15, № 10; [2] M i 1 1 о u х Н., <<J. math, pures ctappl.>>, 9 ser, 1924, t. 3; [3] Н е в а н л и н н а Р., Однозначные аналитические функции, пер. с нем., М.- Л., 1941; [4]. Е в г р а ф о в М. А., Аналитические функции, 2 изд., М., 1968. Е. <Д. <Соломенцев.