РАСХОДЯЩИЙСЯ РЯД

РАСХОДЯЩИЙСЯ РЯД

- ряд, у к-рого последовательность частичных сумм не имеет конечного предела. Напр., ряды


расходятся.

Р. р. стали появляться в работах математиков 17-18 вв. Л. Эйлер (L. Euler) первым пришел к выводу, что нужно ставить вопрос, не чему равна сумма, а как определить сумму Р. р., и нашел подход к решению этого вопроса, близкий к современному. Р. р. до кон. 19 в. не находили применения и были почти забыты. Накопление к кон. 19 в. различных фактов математич. анализа вновь пробудило интерес к Р. р. Стал выдвигаться вопрос о возможности суммирования рядов в нек-ром смысле, отличном от обычного.

П р и м е р ы. 1) Если перемножить два ряда


сходящихся соответственно к А и В, то полученный в результате перемножения ряд

(1)

может оказаться расходящимся. Однако если сумму ряда (1) определить не как предел частичных сумм sn, а как

(2)

то в этом смысле ряд (1) всегда будет сходиться (т. е. предел в (2) будет существовать) и его сумма в этом смысле равна С=АВ.

2) Ряд Фурье функции f(х), непрерывной в точке х 0 (или имеющей разрыв 1-го рода), может расходиться в этой точке. Если же сумму ряда определить по формуле (2), то в этом смысле ряд Фурье такой функции всегда будет сходиться и его сумма в этом смысле равна f(x0) (или соответственно , если х 0 - точка разрыва 1-го рода).

3) Степенной ряд

(3)

сходится для к сумме и расходится для . Если сумму ряда определить как

(4)

где sn - частичные суммы ряда (3), то в этом смысле ряд (3) будет сходиться для всех z, удовлетворяющих условию Re z<l, причем его суммой будет функция


Для обобщения понятия суммы ряда в теории Р. р. рассматривают нек-рую операцию или правило, в результате к-рого Р. р. ставится в соответствие определенное число, наз. его суммой (в этом определении). Такое правило наз. суммирования, методом. Так, правило, описанное в примере 1), наз. методом суммирования средних арифметических (см. Чезаро методы суммирования). Правило, определяемое в примере 2), наз. Бореля методом суммирования.

См. также Суммирование расходящихся рядов. Лит.:[1] В о г е 1 Е., Lecons sur les series divergentes, P., 1928; [2] Х а р д и Г., Расходящиеся ряды, пер. с англ., М., 1951; [3] Кук Р., Бесконечные матрицы и пространства последовательностей, пер. с англ., М., I960; [4] Р е у е r i m h о f f A., Lectures on summability, В., 1969; [5] К n о р р К., Theory and application on infinite series, N. Y., 1971; [6] Z e 1 1 е r К., B e e k m a n n V., Theory der Limitierungsverfahren, B.- Hdlb. - N. Y., 1970. И. И. Волков.




Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Полезное


Смотреть что такое "РАСХОДЯЩИЙСЯ РЯД" в других словарях:

  • расходящийся ряд — — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом EN divergent series …   Справочник технического переводчика

  • расходящийся ряд — diverguojančioji eilutė statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. divergent series vok. divergente Reihe, f rus. расходящийся ряд, m pranc. série divergente, f …   Fizikos terminų žodynas

  • Расходящийся ряд —         ряд, у которого последовательность частичных сумм не имеет конечного предела. Если общий член ряда не стремится к нулю, то ряд расходится, например 1 1 + 1 1 + ... + ( 1) n 1 + ...; примером Р. p., общий член которого стремится к нулю,… …   Большая советская энциклопедия

  • Ряд Фурье — Добавление членов ряда Фурье …   Википедия

  • Ряд (математич.) — Ряд, бесконечная сумма, например вида u1 + u2 + u3 +... + un +... или, короче, . (1) Одним из простейших примеров Р., встречающихся уже в элементарной математике, является сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии 1 + q + q 2 +... + q… …   Большая советская энциклопедия

  • Ряд в математике — Содержание. 1) Определение. 2) Число, определяемое рядом. 3) Сходимость и расходимость рядов. 4) Условная и абсолютная сходимость. 5) Равномерная сходимость. 6) Разложение функций в ряды. 1. Определения. Р. есть последовательность элементов,… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • Ряд, в математике — Содержание. 1) Определение. 2) Число, определяемое рядом. 3) Сходимость и расходимость рядов. 4) Условная и абсолютная сходимость. 5) Равномерная сходимость. 6) Разложение функций в ряды. 1. Определения. Р. есть последовательность элементов,… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • Фурье ряд — Ряд Фурье  представление произвольной функции f с периодом τ в виде ряда Этот ряд может быть также переписан в виде . где Ak  амплитуда k го гармонического колебания (функции cos),   кру …   Википедия

  • Ряд — I         бесконечная сумма, например вида          u1 + u2 + u3 +... + un +...         или, короче,                   Одним из простейших примеров Р., встречающихся уже в элементарной математике, является сумма бесконечно убывающей… …   Большая советская энциклопедия

  • РЯД — б е с к о н е ч н а я с у м м а, последовательность элементов (наз. ч л е н а м и д а н н о г о р я д а) нек рого линейного топологич. пространства и определенное бесконечное множество их конечных сумм (наз. ч а с т и ч н ы м и с у м м а м и р я… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»