РАНГ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ГРУППЫ
- РАНГ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ГРУППЫ
G - размерность любой из ее Картана подгрупп (эта размерность не зависит от выбора подгруппы Картана). Наряду с Р. а. г. Gрассматриваются ее п о л у п р о с т о й р а н г и р е д у к т и в н ы й р а н г, к-рые, по определению, равны соответственно Р. а. г. 
и Р. а. г. 
, где R - радикал алгебраич. группы G,a Ru - ее унипотентный радикал. Редуктивный Р. а. г. G равен размерности любого из ее максимальных торов. Редуктивным k-pа н г о м линейной алгебраич. группы G, определенной над полем k(а в случае, когда группа G редуктивна,- просто ее k-pа н г о м), наз. размерность любого ее максимального k-разложимого тора (эта размерность не зависит от выбора тора; см. Разложимая группа). Если k-ранг определенной над k редуктивной линейной алгебраич. группы G равен нулю (соответственно рангу G), то группа G наз. а н из о т р о п н о й (соответственно р а з л о ж и м о й) над k(см. также Анизотропная группа).
П р и м е р ы. 1) Р. а. г. Т n всех невырожденных верхнетреугольных квадратных матриц порядка правен ее редуктивному рангу и равен п;полупростой ранг группы Т п равен нулю. 2) Р. а. г. Un всех верхнетреугольных квадратных матриц порядка n с единицами на главной диагонали равен ее размерности 
, а редуктивный и полупростой ранги группы Un равны нулю. 3) Р. а. г. On(k, f).всех автоморфизмов определенной над полем kквадратичной формы f в n-мерном векторном пространстве над kравен 
, а k-ранг группы О n(k, f).равен индексу Витта формы f.
Если характеристика основного поля равна 0, то Р. а. г. G совпадает с рангом ее алгебры Ли L(см. Ранг алгебры Ли).и равен минимальной из кратностей собственного значения l= 1 всевозможных присоединенных операторов 
(минимум берется по всем 
. Элемент 
, для к-рого эта кратность равна Р. а. г. G, наз. р е г у л я р н ы м. Множество регулярных элементов группы G открыто в G в топологии Зариского.
Лит.:[1] Ш е в а л л е К., Теория групп Ли, пер. с франц., т. 3, М., 1958; [2] Б о р е л ь А., Т и т с Ж., "Математика", 1967, т. 11, № 1, с. 43-111; [3] Б о р е л ь А., Линейные алгебраические группы, пер. с англ., М., 1972; [4] X а м ф р и Д ж., Линейные алгебраические группы, пер. с англ., М., 1980.
В. Л. Попов.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия.
И. М. Виноградов.
1977—1985.
Полезное
Смотреть что такое "РАНГ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ГРУППЫ" в других словарях:
РАНГ — понятие, тесно связанное с понятием базиса. Обычно Р. определяется либо как минимальная из мощностей порождающего множества (так, напр., вводится б а з и с н ы й р а н г а л г е б р а и ч ес к о й с и с т е м ы), либо как максимальная мощность… … Математическая энциклопедия
РАНГ ГРУППЫ ЛИ — (вещественной или комплексной) размерность (соответственно вещественная или комплексная) любой из ее Картана подгрупп. Р. г. Ли равен рангу ее алгебры Ли (см. Ранг алгебры Ли). Если группа Ли G совпадает с множеством вещественных или комплексных… … Математическая энциклопедия
РАЗЛОЖИМАЯ ГРУППА — над полем k, расщепи мая группа над k, k pазложимая группа, линейная алгебраич. группа, определенная над kи содержащая разложимую над k Бореля подгруппу;. при этом связная разрешимая линейная алгебраич. группа Вназ. разложимой над А, если она… … Математическая энциклопедия
Алгебра Хопфа — Алгебра Хопфа алгебра, являющаяся унитарной ассоциативной коалгеброй и, таким образом, биалгеброй c антигомоморфизмом специального вида. Названа в честь Х. Хопфа. Алгебры Хопфа встречаются в алгебраической топологии, где они возникли в… … Википедия
Число Бетти — Числа Бетти последовательность инвариантов топологического пространства. Каждому пространству соответствует некая последовательность чисел Бетти . Нулевое число Бетти совпадает с числом связных компонент; Первое число Бетти интуитивно… … Википедия
МАКСИМАЛЬНЫЙ ТОР — 1) М. т. линейной алгебраической группы G алгебраическая подгруппа в G, являющаяся алгебраическим тором и не содержащаяся ни в какой большей подгруппе такого типа. Пусть, далее, группа Gсвязна. Объединение всех М. т. группы Gсовпадает с… … Математическая энциклопедия
Гомология (топология) — У этого термина существуют и другие значения, см. Гомология. Гомологии одно из основных понятий алгебраической топологии. Даёт возможность строить алгебраический объект (группу или кольцо) который является топологическим инвариантом… … Википедия
Когомологии — Гомология одно из основных понятий алгебраической топологии. Замкнутая линия гомологична нулю, если она ограничивает кусок поверхности, который отделяется от неё, если мы произведём разрез по этой линии. Например, на сфере любая замкнутая линия… … Википедия
Когомология — Гомология одно из основных понятий алгебраической топологии. Замкнутая линия гомологична нулю, если она ограничивает кусок поверхности, который отделяется от неё, если мы произведём разрез по этой линии. Например, на сфере любая замкнутая линия… … Википедия
Кольцо когомологий — Гомология одно из основных понятий алгебраической топологии. Замкнутая линия гомологична нулю, если она ограничивает кусок поверхности, который отделяется от неё, если мы произведём разрез по этой линии. Например, на сфере любая замкнутая линия… … Википедия
