МНОГОГРАННИКА ГРУППА

МНОГОГРАННИКА ГРУППА

- группа Sym Рсимметрии многогранника Рв n-мерном евклидовом пространстве E n , т. е. группа всех движений пространства Е n, переводящих Рв себя. Многогранник Рназ. правильным, если группа Sym Pтранзитивно действует на множестве его "флагов" - наборов

где есть k-мерная замкнутая грань и

Группа симметрии правильного многогранника порождается отражениями (см. Отражений группа). Ее фундаментальной областью является симшшциальный конус К, вершина к-рого совпадает с центром многогранника Р, а ребра проходят через центры граней, составляющих какой-либо флаг F. Тем самым образующие отражения r1,..., r п группы Sym Pполучают естественную нумерацию: rk есть отражение относительно той гиперплоскости, ограничивающей K, к-рая не проходит через центр грани Г k-1. Образующие и при коммутируют, а порядок равен числу k-мерных (или (к-1)-мерных) граней многогранника Tk + 1 , содержащих грань (если считать, что ). Последовательность наз. символом Шлефли многогранника. Трехмерные правильные многогранники (тела Платона) имеют следующие символы Шлефли: тетраэдр - {3,3}, куб - {4,3}, октаэдр - {3,4}, додекаэдр - {5,3}, икосаэдр - {3,5}.

Символ Шлефли определяет правильный многогранник с точностью до подобия. Обращению символа Шлефли соответствует переход к взаимному многограннику, вершинами к-рого служат центры (п- 1)-мерных граней многогранника Р. Взаимные многогранники имеют одинаковые группы симметрии.

Все возможные символы Шлефли правильных многогранников можно получить из классификации конечных групп отражений, выделив из них те, граф Кокстера к-рых линеен. При в существует лишь 3 правильных многогранника: симплекс, куб и многогранник взаимный кубу (аналог октаэдра). Их символы Шлефли суть {3, ... , 3}, {4,3, ... , 3} и {3, ... , 3, 4}. В 4-мерном пространстве имеется 6 правильных многогранников; {3, 3, 3}, {4, 3, 3}, {3, 3, 4}, {3, 4, 3}, {5, 3, 3} и {3, 3, 5}.

Каждая грань правильного многогранника Ртакже является правильным многогранником, причем ее символ Шлефли есть начальный отрезок символа Шлефли самого многогранника Р. Напр., 3-мерная грань многогранника {5, 3, 3} имеет символ Шлефли {5, 3}, т. е. является додекаэдром.

Лит.:[1] Coxeter H. S. M., Regular Polytopes, 2 ed., N. Y.- L., 1963; [2] Pозенфельд Б. А., 'Многомерные пространства, М., 1066.

Э. Б. Винберг.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Игры ⚽ Поможем написать курсовую

Полезное


Смотреть что такое "МНОГОГРАННИКА ГРУППА" в других словарях:

  • Группа многогранника — группа симметрий многогранника в мерном евклидовом пространстве, то есть группа всех движений пространства, переводящих многогранник в себя. Является частным случаем точечной группы симметрии. Группа многогранника обычно обозначается . Содержание …   Википедия

  • Группа (математика) — Теория групп …   Википедия

  • Группа (алгебра) — Группа в абстрактной алгебре непустое множество с определённой на нём бинарной операцией, удовлетворяющей указанным ниже аксиомам. Ветвь математики, занимающаяся группами, называется теорией групп. Всем знакомые вещественные числа наделены… …   Википедия

  • Группа Коксетера — группа порождённая отражениями в гранях мерного многогранника, у которого каждый двугранный угол составляет целую часть от (то есть равен для некоторого целого ). Такие многогранники называются многогранниками Коксетера. Группы Коксетера… …   Википедия

  • точечная группа симметрии — (класс симметрии), совокупность всех преобразований симметрии (поворотов, отражений и т. д.), совмещающих данный объект (кристалл, молекула) с самим собой и оставляющих у него при этом хотя бы одну неподвижную точку. * * * ТОЧЕЧНАЯ ГРУППА… …   Энциклопедический словарь

  • ДИСКРЕТНАЯ ГРУППА — преобразований группа Г гомеоморфизмов хаусдорфова топологич. пространства X, удовлетворяющая следующему условию: для любых точек х, найдутся такие их окрестно сти U, V соответственно, что множество конечно. Стабилизатор точки относительно Д. г.… …   Математическая энциклопедия

  • ОТРАЖЕНИЙ ГРУППА — дискретная группа преобразований, порождаемая отражениями относительно гиперплоскостей. Наиболее часто рассматриваются О. г., состоящие из движении односвязного полного риманова многообразия постоянной кривизны, т. е. евклидова пространства Е n,… …   Математическая энциклопедия

  • ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ — тела Платона, выпуклые многогранники, все грани к рых суть одинаковые правильные многоугольники и все многогранные углы при вершинах правильные и равные (рис. 1a 1д). В евклидовом пространстве Е 3 существуют пять П. м., данные о к рых приведены в …   Математическая энциклопедия

  • Группы симметрии — Группа симметрии (группа симметрий) некоторого объекта, многогранника или множества точек из метрического пространства ― это группа всех движений, для которых данный объект является инвариантом, с композицией в качестве групповой операции. Как… …   Википедия

  • МНОГОГРАННИК — часть пространства, ограниченная совокупностью конечного числа плоских многоугольников (см. ГЕОМЕТРИЯ), соединенных таким образом, что каждая сторона любого многоугольника является стороной ровно одного другого многоугольника (называемого… …   Энциклопедия Кольера


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»