Группа Коксетера

Группа Коксетера — группа порождённая отражениями в гранях $n$-мерного многогранника, у которого каждый двугранный угол составляет целую часть от $\pi$ (то есть равен $\pi/k$ для некоторого целого $k$). Такие многогранники называются многогранниками Коксетера.

Группы Коксетера определяются для многогранников в Евклидовом пространстве, на сфере, а также в пространстве Лобачевского.

Примеры

• Многогранники Коксетера в Евклидовом пространстве размерности $n$:
  • $n$-мерный куб произвольной размерности.
  • $n$-мерный симплекс образованный точками с координатами $(x_1,x_2,\dots,x_n)$ такими, что $0\le x_1\le x_2\le\dots\le x_n\le 1$.
• Многогранники Коксетера в единичной сфере размерности $n$:
  • правильный $n$-мерный симплекс со стороной $\pi/2$.
• Многогранники Коксетера в пространствах Лобачевского:
  • Правильный $k$-многоугольник с углом $\pi/m$.
  • Правильный прямоугольный додекаэдр в размерности $3$.
  • Правильный прямоугольный 120-гранник (англ.) в размерности $4$.

Свойства

• Многогранник Коксетера является фундаментальной областью действия группы Коксетера.
  • В частности многогранник Коксетера замощает пространство.
  • В частности, любая евклидова группа Коксетера является примером точечной группы.
• Теорема Винберга.^[1] В пространствах Лобачевского всех достаточно больших размерностей ограниченных многогранников Коксетера не существует.
• Сферические многогранники Коксетера являются симплексами.
• Многогранники Коксетера являются простыми.
• Обозначим через $\{r_1,r_2,\ldots,r_n\}$ отражения в гранях многогранника и пусть $\pi/m_{ij}$ есть двугранный угол между гранями $i$ и $j$, положим $m_{ij}=\infty$ если грани не образуют двугранного угла в многограннике $m_{ii}=1$. Тогда группу Коксетера можно задать следующим образом:

  $\left\langle r_1,r_2,\ldots,r_n \mid (r_ir_j)^{m_{ij}}=1\right\rangle$

Вариации и обобщения

• Группами Коксетера так же называюся обобщение класса групп описанного выше, определяемое с помощью задания:

  $\left\langle r_1,r_2,\ldots,r_n \mid (r_ir_j)^{m_{ij}}=1\right\rangle$

где $m_{ii}=1$ и $m_{ij}\geq 2$ при $i\neq j$.

Литература

1. ↑ Э. Б. Винберг, Гиперболические группы отражений УМН, 40:1(241) (1985), 29–66

• Coxeter, H.S.M. (1934), "«Discrete groups generated by reflections»", Ann. Of Math. Т. 35 (3): 588–621, DOI 10.2307/1968753