АРХИМЕДОВА ПОЛУГРУППА

1) Линейно упорядоченная полугруппа, все строго положительные (строго отрицательные) элементы к-рой принадлежат одному архимедову классу. Всякая естественно упорядоченная А. п. S(см. Естественно упорядоченный группоид) изоморфна нек-рой подполугруппе одной из следующих полугрупп: аддитивной полугруппе всех неотрицательных действительных чисел, полугруппе всех действительных чисел интервала (0,1) с обычной упорядоченностью и операцией , полугруппе, состоящей из всех действительных чисел интервала н символа с обычной упорядоченностью и операцией

Первый случай имеет место тогда и только тогда, когда S - полугруппа с сокращением.

Лит.:[1] Фукс Л., Частично упорядоченные алгебраические системы, пер. с англ., М., 1965. О. А. Иванова.

2) Полугруппа , удовлетворяющая условию: для любых существует такое натуральное число п, что . При условии полугруппа S наз. архимедовой слева (справа). Для коммутативных полугрупп все эти понятия эквивалентны. Любая коммутативная полугруппа Sединственным образом разложима в связку А. п. (причем такое разложение совпадает с наиболее дробным разложением S в связку полугрупп). Этот результат по-разному обобщался на некоммутативные полугруппы (см. 11]). Полугруппа Sс идемпотентом будет архимедовой (архимедовой справа) тогда и только тогда, когда она обладает ядром К, причем Ксодержит идемпотент (Кесть правая группа), а факторполугруппа Риса (см. Полугруппа) есть нильполугруппа. А. п. без идем-потентов труднее поддаются изучению. Лишь в коммутативном случае здесь дано полное описание в терминах нек-рых конструкций, особенно прозрачное для полугрупп с законом сокращения (см. [2], 4.3; [3]).

Лит.:[1] Putcha M.S., "Semigroup Fonun", 1973, v. 6, №. 3, p. 232-39; [2] Клиффорд А., Престон Г., Алгебраическая теория полугрупп, пер. с англ., т. 1-2, М., 1972; [3] Тamurа Т., "Math. Nachr.", 1968, Bd 36, № 5/6, S. 255-87. Л. Н. Шеврин.