ЛОКАЛИЗАЦИЯ

в категориях - специальная конструкция, связанная со .специальными радикальными подкатегориями; она впервые появилась в абелевых категориях для описания т. н. Гротендика категорий с помощью категорий модулей над ассоциативными кольцами с единицей. Пусть - абелева категория. Полная подкатегория категории наз. плотной, если она содержит все подобъекты и фак-торобъекты своих объектов н замкнута относительно расширений, т. е. в точной последовательности

тогда и только тогда, когда А,

Факторкатегория строится следующим образом. Пусть - подобъект прямой суммы

где - проекции, и пусть квадрат

коуниверсален. Подобъект наз. -подобъектом, если Два -подобъекта эквивалентны, если они содержат нек-рый -подобъект. Множество состоит, по определению, из классов эквивалентных -подобъектов прямой суммы Обычное умножение бинарных отношений в абелевой категории согласовано с введенной эквивалентностью, что позволяет определить факторкатегорию Эта факторкатегория оказывается абелевой категорией. Точный функтор можно задать, сопоставляя каждому морфизму его график в Подкатегория наз. подкатегорией локализации, если функтор Тобладает полным сопряженным справа функтором Подкатегория Л. всегда является подкатегорией всех радикальных объектов нек-рого наследственного радикала.

В категории абелевых групп подкатегория всех периодич. групп есть подкатегория Л. Факторкатегория любой категории модулей по подкатегории Л. является категорией Гротендика. Обратно, всякая категория Гротендика эквивалентна нек-рой фактор-категории подходящей категории модулей.

Понятие подкатегории Л. можно определить и для неабелевых категорий [3]. Однако в неабелевом случае таких подкатегорий обычно мало. Напр., в категории всех ассоциативных колец имеется только две тривиальные подкатегории Л.- вся категория и ее полная подкатегория, содержащая только нулевые кольца.

Лит.:[1] Б у к у р И., Деляну А., Введение в теорию категорий и функторов, пер. с англ., М., 1972; [2] Gabriel P., "Bull. Soc. math. France", 1962, t. 90, p. 323-448; [3] Шульгейфер Е. Г., "Тр. Моск. матем. об-ва", 1968, т. 19, с. 271 - 301. М. Ш. Цаленко.