ЛАКУНАРНАЯ СИСТЕМА

порядка р>2, S_p- система,- ортонормированная система функций пространства L^p такая, что если ряд

сходится в пространстве L², то его сумма принадлежит классу L^p. Если система функций есть S _р -система при любом р>2, то она наз. -системой. С. Банах (S. Banach) доказал (см. [2]), что из всякой ограниченной в пространстве L^p ортонормированной в L² системы функций можно выбрать S _р -систему. Для того чтобы ортонормированная система функций была S _р- системой, необходимо и достаточно, чтобы существовала постоянная зависящая только от ри такая, что

для всех N, {а}. Если система функций есть S _р- система при некотором р>2, то найдется постоянная ттакая, что

для всех N,. Система функций, обладающая этим свойством, наз. системой Банаха. Эти определения распространяются и на не ортогональные системы функций (см., напр., [3]). Иногда под Л. с. понимают систему функций, ряды к-рой обладают одним или несколькими свойствами лакунарных тригонометрических рядов, в зависимости от к-рых ей придают различные названия. Напр., с теоремой единственности для лакунарных тригонометрич. рядов связано понятие Л. с. Е-единственности. Система функций наз. системой в-единственности, если существует число e>0 такое, что из сходимости ряда (*) к нулю всюду, за исключением быть может множества меры, меньшей e, следует равенство всех его коэффициентов нулю.

Лит.:[1] К а ч м а ж С., III т ей н г а у з Г., Теория ортогональных рядов, пер. с нем., М., 1958; [2] Алексич Г., Проблемы сходимости ортогональных рядов, пер. с англ., М., 1963; [3] Г а п о ш к и н В. Ф., "Успехи матем. наук", 1966, т. 21. в. 6, с. 3-82. В. Ф. Емельянов.