КОВАРИАНТ

тензора tна конечномерном векторном пространстве V- такое отображение j пространства Ттензоров фиксированного типа на Vв некоторое пространство Sковариантных тензоров на V, что j(g(t))=g(j(t)). для любого невырожденного линейного преобразования gпространства Vи любого Это - определение коварианта тензора относительно полной линейной группы GL(V). Если же gне любое, а принадлежит фиксированной подгруппе то получается определение К. тензора относительно группы G. или просто К. группы G.

На координатном языке К. тензора на конечномерном векторном пространстве представляет собой набор функций

от координат тензора t, обладающий свойством: при изменении набора чисел t₁. .., t_n, определенным невырожденным линейным преобразованием набор чисел s₁,..., s_m меняется так же, как меняются координаты нек-рого ковариантного тензора s на Vпри преобразовании g. Аналогично (рассматривая вместо одного тензора tконечный набор тензоров) определяется совместный К. системы тензоров. Если же вместо ковариантности тензора sтребовать контраварнантность, получится понятие контраварианта.

Понятие К. возникло в классической теории инвариантов и является частным случаем понятия комитанта. Координаты любого тензора на Vмогут рассматриваться как коэффициенты соответствующей формы от нескольких контравариантных и ковариантных векторов (т. е. векторов пространства Vи его сопряженного пространства V*). Пусть тензору tсоответствует таким образом форма f, а его коварианту s - форма h. Тогда h- форма только от контраварнантных векторов. В классич. теории инвариантов форма hназывалась К. формы f. Особенно часто рассматривался случай, когда h- форма от одного контравариантного вектора. Степень этой формы наз. порядком К. Если коэффициенты формы hявляются многочленами от коэффициентов формы f, то наивысшая из степеней этих многочленов наз. степенью К.

Пример. Пусть - n-арная форма порядка r, где х ¹,. .., х ^r- координаты контравариантного вектора. Форма f соответствует симметрическому ковариантному тензору t r-й валентности с координатами а _i1... i_r. Пусть

Тогда коэффициенты формы hявляются координатами нек-рого ковариантного тензора s. Тензор s (форма h). есть К. тензора t(формы f). Форма hназ. гессианом формы f.

Лит.:[1] Гуревич Г. Б., Основы теории алгебраических инвариантов, М.- Л., 1948.

В. <Л. <Попов.