S-ДВОЙСТВЕННОСТЬ

стационарная двойственность, Спеньера двойственность, - двойственность в теории гомотопии, имеющая место (при отсутствии ограничений на размерность пространств) для аналогов обычных гомотопич. и когомотопич. групп в надстроечной категории - для S-гомотопич. и S-когомотопнч. групп или стационарных групп гомотошш и когомотопий, образующих экстраординарные (обобщенные) теории гомологии и когомологий. Надстроечной категорией, или S-к атегорией, наз. категория, объектами к-рой являются топологич. пространства X, а морфизмами - классы {f} S-гомотопных отображений f р -кратной надстройки S^pX₁ в S^PX₂, причем f и g: считаются 5-гомотопными, если существует такое что надстройки гомотопны в обычном смысле.

Множество {Х _х, X₂} таких классов, наз. S-oтображениями, составляет абелеву группу (относительно так яаз. колейного сложения, см. [1], [2], [4), [5]). Группа {Х _г, Х ₂ )есть предел прямого спектра множеств [S^kX₁, S^kX₂]обычных гомотогшч. классов с надстроечными отображениями в качестве проекций, являющегося при достаточно больших кспектром групп с гомоморфизмами. Имеет место изоморфизм S: {Х ₁, Х ₂}{SX₁, SX₂}, при к-ром соответствующие друг другу элементы представляются одним и тем же отображением Полиэдром, п- двойственным к полиэдру Xсферы Sⁿ, наз. произвольный полиэдр D _п Х в Sⁿ, являющийся S-це формационным ретрактом дополнения т. е. если морфизм, соответствующий вложению есть S-эквивалентность. Полиэдр D_nX существует для каждого X, и можно рассматривать Xкак

Для любых полиэдров Х ₁, Х ₂ и любых n-двойственных им полиэдров D_nX₁ и D_nX₂ существует единственное отображение

удовлетворяющее следующим условиям:

а) Оно является инволютивным контравариантным функториальным изоморфизмом, т. е. D_n есть такой гомоморфизм,что если то если то если 0 - элемент из {X₁ , Х ₂} или из {D_nX₂, D_nX₁}, то

б) Оно удовлетворяет соотношениям где SD_nX_i и D_nX_i рассматриваются как полиэдры, (n+1)-двойственные к полиэдрам X;и, соответственно, SX_i, i=i,2; это значит, что оно не зависит от n и стационарно относительно надстройки.

в) Оно удовлетворяет равенству где и - гомоморфизмы указанных групп гомологии и когомологий, индуцированные S-отображениями и D_nq, a есть изоморфизм, к-рый получается из изоморфизма Александера двойственности заменой множества его S-деформационным ретрактом D_nX_i.

Построение D_n опирается на представление данного отображения как композиции вложения и S-деформационной ретракции.

S- гомотопической группой е _р (Х)пространства Xназ. группа {S^p, X}, а S-к огомотопической группой S ^Р (Х)пространства X- группа {X, SP}. Как и в обычной теории гомотошш, определяются гомоморфизмы

Рассмотрение сфер S^p и S^n-p-1 как n-двойственных приводит к изоморфизму

и к коммутативной диаграмме

Таким образом, изоморфизм D_n связывает S-гомотопич. и S-когомотопич. группы подобно тому, как изоморфизм двойственности Александера D_aⁿ связывает группы гомологии и когомологии. Какая-либо двойственность в S-категории приводит к двойственности в случае обычных гомотопич. классов, если на пространство наложить требования, из к-рых следует наличие взаимно однозначного соответствия множества указанных классов с множеством S-гомотопических классов.

Примерами двойственных предложений в этой теории являются теорема Гуревича об изоморфизме и теорема классификации Хопфа. D_n переводит одну из этих теорем в другую, что означает замену S-гомотопич. групп S-когомотопическими, групп гомологии - группами когомологии, отображения j_p- отображениями j^n-p-1, наименьшей размерности с нетривиальной гомологич. группой - наивысшей размерностью с нетривиальной группой когомологии, и наоборот. В обычной теории гомотогши для определения n-когомотопич. группы требуется, чтобы размерность пространства не превышала 2n-2 (или, более общо, чтобы пространство было (2n-1)-косвязным, n>1), что нарушает полную общность двойственности.

Теория обобщается в различных направлениях: напр., рассматриваются пространства, имеющие S-гомотопический тип полиэдров, относительный случай, теория с носителями и др. (см. [3], [5], [6], [7]). Она послужила одним из источников стационарной гомотопической теории [8].

Лит.:[1] Спаньер Э. Г., "Математика", 1959, т. 3, № 1, с. 17-25; [2] Spanier E. H., Whitehead J. Н. С, "Mathematical 1955, v. 2, №3, p. 56-80; [3] их же, "Ann. Math.", 1958, v. 67, №2, p. 203 - 38; [4] Barratt M. G., "Proc. Lond. Math. Soc", 1955, v. 5, p. 71 - 106, 285 - 329; [5] Сп. <чньер Э. Г., Уайтхед Дж. Г., "Математика", 1959, т. 3, № 1, с. 27 - 56; [6] Экман Б., Хилтон П., там же, 1960, т. 4, № 3, с. 3-27; [7] Спаньер Э., Алгебраическая топология, пер. с англ., М., 1971; [8] Уайтхед Дж., Новейшие достижения в теории гомотопий, пер. с англ., М., 1974.

Г. С. Чогошвили.