ГРЁТША ТЕОРЕМЫ это:

ГРЁТША ТЕОРЕМЫ

- различные результаты о конформных и квазиконформных отображениях X. Грётша (см. [1]). На основе разработанного им полос метода, представляющего первую общую форму метода конформных модулей (см. Экстремальной метрики, метод),X. Грётш систематически исследовал и решил большое количество экстремальных задач конформного отображения многосвязных (в том числе бесконечносвязных) областей, включая вопросы существования, единственности и геометрич. свойств экстремальных отображений. Ниже приведены нек-рые из простейших Г. т.

Среди всех однолистных конформных отображений фиксированного кругового кольца , при к-рых единичная окружность переходит в себя, максимум диаметра образа окружности достигается в том и только в том случае, когда граничной компонентой служит прямолинейный отрезок с серединой в точке . Аналогичный результат установлен для многосвязных областей.

Среди всех однолистных конформных отображений фиксированной многосвязной области с разложением в бесконечности и с нормировкой в фиксированной точке максимум , максимум и минимум в фиксированной точке достигаются только на отображениях, переводящих каждую граничную компоненту Всоответственно в дугу окружности с центром в точке ; в дугу эллипса с фокусами в точках и в дугу гиперболы с фокусами в точках и . В каждой из указанных задач экстремальное отображение существует и единственно. В том же классе отображений для фиксированного областью значений функционала является круг


Каждая граничная точка этого круга является значением функционала Ф на единственном отображении из рассматриваемого класса, обладающем определенными геометрич. свойствами.

X. Грётш впервые предложил одну из форм представления квазиконформных отображений и перенес на эти отображения многие экстремальные результаты, установленные им ранее для конформных отображений.

Лит.: [1] Grotzsch Н., "Вег. Verhandl. Sachsisch. Akad. Wiss. Leipzig. Math.-Naturwiss. Kl.", 1929, Bd 81, № 1, S. 38-47; № 4, S. 217-21; 1930, Bd 82, № 1, S. 69-80; 1932, Bd 84, №4, S. 269-78; [2] Дженкинс Дж., Однолистные функции и конформные отображения, пер. с англ., М., 1962.

П. М. Тамразов.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "ГРЁТША ТЕОРЕМЫ" в других словарях:

  • ОДНОЛИСТНАЯ ФУНКЦИЯ — функция f, регулярная или мероморфная в области Врасширенной комплексной плоскости п такая, что для всяких zl , выполняется соотношение то есть f отображает В в взаимно однозначно. При этом обратная функция также однолистна. Обобщением О. ф.… …   Математическая энциклопедия

  • ЭКСТРЕМАЛЬНОЙ МЕТРИКИ МЕТОД — один из основных методов геометрич. теории функций, тесно связанный с дифференциальной геометрией и топологией. В основе Э. м. м. лежат соотношения между длинами кривых, принадлежащих определенным гомотопич. классам, и площади заполняемой ими… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»