ГИПОЦИКЛОИДА

- плоская кривая, траектория точки окружности, катящейся по другой окружности и имеющей с ней внутреннее касание. Параметрич. уравнения:

где - радиус катящейся окружности, - радиус неподвижной окружности, - угол, стягиваемый дугой между точками касания окружностей. В зависимости от величины модуля получаются Г. различной формы. При тцелом кривая состоит из тнепересекающихся ветвей (см. рис. а). Точки возврата имеют полярные координаты При тиррациональном число ветвей бесконечно, точка Мв исходное положение не возвращается; при трациональном Г. (см. рис., 6) - замкнутая алгебраич. кривая. Длина дуги от точки :

Радиус кривизны:

Если точка находится не на катящейся окружности, а лежит вне (внутри) ее, то кривая наз. удлиненной (укороченной) гипоциклоидой или гипотрохоидой (см. Трохоида). При m=2

Г.- отрезок прямой, при m=3 - Штейнера кривая, при m=4 - астроида. Г. относится к так наз. циклоидальным кривым.

Лит.:[1] Савелов А. .А., Плоские кривые, М., 1960.

Д. Д. Соколов.