Континуум (в математике)

Континуум (от лат. continuum — непрерывное) в математике, термин, употребляемый для обозначения образований, обладающих известными свойствами непрерывности (полные формулировки см. в 1 и 2), и для обозначения определённой мощности (см. Мощность множества), а именно, мощности множества действительных чисел (см. 3). 1) Наиболее изученным непрерывным образованием в математике является система действительных чисел, или т. н. числовой К. Свойства непрерывности системы действительных чисел могут быть охарактеризованы различными способами (при помощи различных «аксиом непрерывности»). Если основным понятием считать понятие неравенства (а < b), то непрерывность числового К. можно, например, охарактеризовать следующими двумя положениями: а) между любыми двумя числами а < b лежит по крайней мере ещё одно число с (для которого а < с < b); б) если все числа разбиты на два класса А и В так, что каждое число а класса А меньше любого числа b класса В, то либо в классе А есть наибольшее число, либо в классе В есть наименьшее число (аксиома непрерывности Дедекинда). 2) В топологии, являющейся не чем иным как геометрией непрерывности, свойства непрерывности пространства или любого множества формулируются при помощи понятия предельной точки. Основное понятие связности множества, лежащего в топологическом пространстве (или всего пространства), определяется так: множество М называется связным, если при любом разбиении его на два непересекающихся непустых подмножества A и В найдётся хотя бы одна точка, принадлежащая одному из них и предельная для другого. К. в топологии называют любой связный компакт (см. Компактность). Среди множеств, лежащих на прямой или в n-мерном евклидовом пространстве, компактами являются замкнутые ограниченные множества. Т. о., в евклидовых пространствах К. можно определить как связные замкнутые ограниченные множества. Единственными К. в этом смысле, лежащими на числовой прямой, являются отрезки (т. е. множества чисел, удовлетворяющих неравенствам а £ х £ b). По строгому смыслу этого принятого в топологии определения множество всех действительных чисел не есть К. 3) Мощность множества действительных чисел называется мощностью К. и обозначают готической буквой c или древнеевропейской буквой À («алеф») (в отличие от других мощностей — без индекса). Каждый топологический К. имеет ту же мощность c. Известно, что мощность c больше мощности À0 счётных множеств. В решении вопроса, является ли мощность К. ближайшей следующей за À0 мощностью, заключается т. н. континуума проблема. Лит. см. при ст. Множеств теория.