Почти периодическая функция

Почти периодическая функция
        функция, значения которой при добавлении к аргументу надлежащим образом выбранных постоянных чисел (почти периодов) приближённо повторяются. Более точно: непрерывная функция f (x), определённая для всех действительных значений х, называется почти периодической, если для каждого ε > 0 можно указать такое l = l (ε), что в каждом интервале оси х длины l найдётся хотя бы одно число τ = τ(ε), для которого при любом х выполняется неравенство |f (x + τ) — f (x)| < ε. Числа τ называются почти периодами функции f (x). Периодическая функции суть частные случаи П. п. ф.; простейшие примеры П. п. ф., не являющихся периодическими, получаются в результате сложения периодических функций с несоизмеримыми периодами, например cosx + cos√2x.
         Некоторые наиболее важные свойства П. п. ф.:
         1) П. п. ф. ограничена и равномерно непрерывна на всей оси х.
         2) Сумма и произведение конечного числа П. п. ф. есть также П. п. ф.
         3) Предел равномерно сходящейся последовательности П. п. ф. есть также П. п. ф.
         4) Для каждой П. п. ф. существует среднее значение (на всей оси х):
        
         5) Каждой П. п. ф. можно сопоставить ряд Фурье:
        
        причём λ1, λ2, …, λn, …, может быть любой последовательностью отличных друг от друга действительных чисел и
        
         6) Равенство Парсеваля: для каждой П. п. ф. справедливо равенство:
         M {|f (x)|2} =
         7) Теорема единственности: если f (x) есть непрерывная П. п. ф. и если для всех действительных λ
         М {f (х) е-iλx} = 0,
         то f (x) ≡ 0. Иначе говоря, ряд Фурье однозначно определяет П. п. ф.
         8) Теорема аппроксимации: для каждого ε > 0 можно указать такой конечный тригонометрический полином
        
        (μk — действительные числа), что для всех значений х выполняется неравенство: |f (x) — Pε(x)| < ε; обратно, каждая функция f (x) с этим свойством является П. п. ф.
         Первое построение непрерывных П. п. ф. было дано датским математиком Х. Бором (1923). Ещё ранее (1893) частный случай П. п. ф. — т. н. квазипериодические функции — изучил латвийский математик П. Боль. Новое построение теории П. п. ф. дал Н. Н. Боголюбов (1930). Обобщение теории П. п. ф. на разрывные функции впервые дано В. В. Степановым (1925), а потом Г. Вейлем (См. Вейль) и А. Безиковичем. Обобщение другого рода было дано советским математиком Б. М. Левитаном (1938).
         Лит.: Бор Г., Почти периодические функции, пер. с нем., М. — Л., 1934; Левитан Б. М., Почти-периодические функции, М., 1953.

Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. 1969—1978.

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Полезное


Смотреть что такое "Почти периодическая функция" в других словарях:

  • ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ — функция, к рая может быть представлена обобщенным рядом Фурье. Существуют различные способы определения классов П. п. ф., основанные на понятиях замыкания, почти периода, сдвига. Каждый из классов П. п. ф. получается в результате замыкания в том… …   Математическая энциклопедия

  • ПЕРИОДИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ЭЛЕМЕНТОВ — ПЕРИОДИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ЭЛЕМЕНТОВ, периодический закон. Уже с давних пор были делаемы попытки установить зависимость свойств элементов от их атомного веса: Деберейнер (Dobereiner, 1817) указал на триад ы подобных элементов, между атомными весами к… …   Большая медицинская энциклопедия

  • ВЕЙЛЯ ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ — класс комплекснозначных почти периодических функций суммируемых со степенью р в каждом конечном интервале действительной оси и обладающих, при нек ром , относительно плотным множеством , почти периодов;определены Г. Вейлем [1]. Класс Wp… …   Математическая энциклопедия

  • ФУРЬЕ РЯД — почти периодической функции ряд вида где Фуръе показатели, а п Фурье коэффициенты почти периодич. функции f(x). Ряд (*) соответствует любой числовой почти периодич. функции. Поведение Ф. р. существенно зависит от структуры множества показателей… …   Математическая энциклопедия

  • ДИРИХЛЕ РЯД — для аналитической почти периодической функции ряд вида представляющий собой все ряды Фурье аналитической регулярной почти периодической в полосе (a, b), , функции f(s)=f(t+it) на конти . нуальной совокупности прямых R(s) = t (см. Почти… …   Математическая энциклопедия

  • ОБОБЩЕННОГО СДВИГА ОПЕРАТОРЫ — гипергруппа, понятие, возникшее в результате аксиоматизации нек рых свойств операторов сдвига в пространствах функций на группе. В терминах операторов группового сдвига можно сформулировать такие важные математич. понятия как свертка, групповая… …   Математическая энциклопедия

  • СВОБОДНОЕ ГАРМОНИЧЕСКОЕ КОЛЕБАНИЕ — синусоидальное колебание. Если механическая или фи зич. величина х(t), где t время, меняется по закону (1) то говорят, что х(t)совершает С. г. к. Здесь А,w, j действительные постоянные, А> 0, w > 0. Величины А,w, j наз. соответственно… …   Математическая энциклопедия

  • Бор — I (Bohr)         Нильс Хенрик Давид (7.10.1885, Копенгаген, 18.11.1962, там же), датский физик. Создал первую квантовую теорию атома, а затем участвовал в разработке основ квантовой механики (См. Квантовая механика). Внёс также значительный вклад …   Большая советская энциклопедия

  • Степанов — I Степанов         Александр Васильевич [13(26).8.1908, Петербург, 16.5.1972, Ленинград], советский физик, член корреспондент АН СССР (1968). Окончил Ленинградский политехнический институт (1930). С 1926 работал в Ленинградском физико техническом …   Большая советская энциклопедия

  • Векторная диаграмма — графическое изображение меняющихся по закону синуса (косинуса) величин и соотношений между ними при помощи направленных отрезков векторов. Векторные диаграммы широко применяются в электротехнике, акустике, оптике, теории колебаний и так далее.… …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»