Vecteur directeur

En mathématiques, on appelle vecteur directeur d'une droite $(D)$ tout vecteur ${\vec {U}}$, non nul, qui possède la même direction que la droite $(D)$ .

Pour une droite donnée, il existe une infinité de vecteurs directeurs, tous colinéaires entre eux.

Propriétés

Propriété : Deux vecteurs directeurs d'une même droite sont colinéaires.

Théorème — Soit une droite $(D)$ du plan repéré par le repère $(O;{\vec {i}};{\vec {j}})$.
Si une équation de $(D)$ est $ax+by+c=0$, alors les deux vecteurs de coordonnées respectives $(-b;a)$ et $(b;-a)$ sont des vecteurs directeurs de $(D)$.

Par exemple, supposons que l'équation d'une droite soit $3x-2y+15=0$, alors $(2;3)$ et $(-2;-3)$ sont tous les deux des vecteurs directeurs.

Démonstration

Soit un point $A(x;y)$ appartenant à $(D)$.
On a alors $ax+by+c=0$.
Soit le point $B(x-b;y+a)$, qui est distinct de A puisque a et b ne sont pas tous les deux nuls ; on peut vérifier qu'il appartient aussi à $(D)$ :

$a(x-b)+b(y+a)+c=ax-ba+ba+by+c=0\,$

Or le vecteur ${\vec {AB}}\,$ a pour coordonnées $(-b;a)\,$ : c'est donc un vecteur directeur de la droite.

 

Voir aussi

Articles connexes

• Vecteur unité
• Normale à une surface

Liens externes

• (en) Eric W. Weisstein, « Direction », sur MathWorld
• (en) Glossary, Nipissing University
• (en) Finding the vector equation of a line
• (en) Lines in a plane - Orthogonality; Distances, MATH-tutorial
• (en) Coordinate Systems, Points, Lines and Planes