Variété (algèbre)
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Ne pas confondre avec la notion de variété algébrique.
En algèbre universelle, une variété est une classe équationnelle, c'est-à-dire une classe K non vide de structures algébriques de même signature qui satisfont un ensemble d'identités (appelé axiomatisation équationnelle de la classe).
Exemple[modifier | modifier le code]
Un monoïde est un ensemble E muni d'une loi interne * associative et d'un élément neutre. Ainsi, pour tous éléments x, y, z d'un monoïde, les équations suivantes sont vérifiées :
- (x * y) * z = x * (y * z)
- x * e = x
- e * x = x
De plus, ces trois équations caractérisent la notion de monoïde. Ainsi, la classe des monoïdes est une variété, puisqu'elle est définie par ces trois équations.
Théorème HSP[modifier | modifier le code]
D'après la définition, toute variété K vérifie :
- (H) toute image par homomorphisme d'un élément de K est dans K ;
- (S) toute sous-structure d'un élément de K est dans K ;
- (P) tout produit direct d'éléments de K est aussi dans K.
Le théorème HSP de Garrett Birkhoff (1935)[1],[2] énonce que la réciproque est vraie : toute classe stable par homomorphismes, sous-structures et produits est équationnelle.
Article connexe[modifier | modifier le code]
Théorème des variétés d'Eilenberg
Notes et références[modifier | modifier le code]
- Birkhoff, G. (Oct 1935), "On the structure of abstract algebras", Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 31 (4): 433–454
- (en) J. S. Oliveira et G.-C. Rota, Selected Papers on Algebra and Topology by Garrett Birkhoff, Springer Science & Business Media, (ISBN 978-0-8176-3114-7, lire en ligne)
