Théorème de Schur-Zassenhaus
En mathématiques, et plus précisément en théorie des groupes, le théorème de Schur-Zassenhaus, dû à Issai Schur et à Hans Julius Zassenhaus, est un théorème concernant les compléments de certains sous-groupes des groupes finis.
Énoncé du théorème[modifier | modifier le code]
Théorème de Schur-Zassenhaus — Soit G un groupe fini et H un sous-groupe de Hall distingué de G ; H admet un complément dans G (c'est-à-dire qu'il existe un sous-groupe K de G tel que G = HK et H ⋂ K = 1).
Puisque H est supposé distingué dans G, le théorème revient à dire que, sous les hypothèses en question, G est produit semi-direct interne de H par un sous-groupe de G. Ce théorème, démontré par Schur[1] dans le cas particulier où H est cyclique[2], fut généralisé à un sous-groupe de Hall distingué quelconque par Zassenhaus en 1937[3],[4].
On prouve par des moyens relativement élémentaires que si les hypothèses du théorème général sont satisfaites et qu'un au moins des deux groupes H et G/H est résoluble, tous les compléments de H dans G sont conjugués dans G[5]. En fait, puisque H est un sous-groupe de Hall de G, les ordres de G et de G/H sont premiers entre eux, donc un au moins de ces ordres est impair, donc, d'après le théorème de Feit-Thompson (qui ne se démontre qu'à un stade beaucoup plus avancé de la théorie), un au moins des deux groupes H et G/H est résoluble. On peut donc éliminer l'hypothèse supplémentaire et énoncer le théorème suivant : si G est un groupe fini et H un sous-groupe de Hall distingué de G, tous les compléments de H dans G sont conjugués dans G.
Le théorème de Schur-Zassenhaus sert par exemple à démontrer[6] ce théorème de Philip Hall : si G est un groupe résoluble fini, si d est un diviseur de l'ordre |G| de G tel que d et |G|/d soient premiers entre eux, si A est un sous-groupe de G dont l'ordre divise d, alors il existe un sous-groupe d'ordre d de G qui contient A.
Notes et références[modifier | modifier le code]
- (de) J. Schur, « Untersuchungen über die Darstellungen der endlichen Gruppen durch gebrochen lineare Substitutionen », J. reine angew. Math., vol. 132, , p. 85-137 (lire en ligne). Référence donnée par (en) Hans Kurzweil (de) et Bernd Stellmacher, The Theory of Finite Groups, An Introduction, Springer, , 388 p. (ISBN 978-0-387-40510-0, lire en ligne), p. 73 et 378.
- (en) Joseph J. Rotman (en), An Introduction to the Theory of Groups [détail des éditions], 4e éd., tirage 1999, p. 190, qui date la publication de Schur de 1904.
- (de) H. J. Zassenhaus, Lehrbuch der Gruppentheorie, Leipzig, . Référence donnée par Kurzweil et Stellmacher 2004, p. 73 et 374. Voir la traduction anglaise du livre de Zassenhaus : The Theory of Groups, réimpr. Dover, 1999, ch. IV, th. 25, p. 162.
- Pour une démonstration moderne du théorème, voir par exemple (en) W. R. Scott, Group Theory, réimpr. Dover, (lire en ligne), p. 143, 9.3.6, p. 224.
- Pour une démonstration, voir par exemple Scott 1987, 9.3.9, p. 227.
- Pour une démonstration, voir par exemple Scott 1987, 9.3.10, p. 228.
