Structure presque complexe

En géométrie différentielle, une structure presque complexe sur une variété différentielle réelle est la donnée d'une structure d'espace vectoriel complexe sur chaque espace tangent.

Définition formelle[modifier | modifier le code]

Une structure presque complexe J sur une variété différentielle M est un champ d'endomorphismes J, c'est-à-dire une section globale du fibré vectoriel $\mathrm {End} (TM)$ , vérifiant :

\forall x\in M,J_{x}^{2}=-\mathrm {Id} _{T_{x}M}

Une variété différentielle munie d'une structure presque complexe est appelée une variété presque complexe.

Théorème : L'existence d'une structure presque complexe J sur une variété différentielle M implique que M soit de dimension paire, disons 2n. De plus, il existe une unique orientation sur M telle que ...

Donc, pour qu'il existe une structure presque complexe, il faut que la variété soit de dimension paire et orientée. Mais cette condition à elle seule ne suffit pas :

Théorème : L'existence d'une structure presque complexe sur une variété différentielle de dimension paire orientable équivaut à la réduction du groupe structural du fibré tangent de $\mathrm {GL} (2n,\mathbb {R} )$ à $\mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )$ .

Exemples[modifier | modifier le code]

Les seules sphères à admettre une structure presque complexe sont :

La sphère $S^{2}$ , vue comme le compactifié de ℂ.
La sphère $S^{6}$ , vue comme la sphère unité des octonions imaginaires.

Formes différentielles[modifier | modifier le code]

Algèbre linéaire : un opérateur linéaire $A\in \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )$ vérifiant l'identité $A^{2}=-\mathrm {I} _{n}$ se réduit sur $\mathbb {C} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$ . Il admet deux espaces propres, $E^{+}$ et $E^{-}$ , de valeurs propres respectives $i$ et $-i$ .