Produit scalaire canonique

Un produit scalaire canonique est un produit scalaire qui se présente de manière naturelle d'après la manière dont l'espace vectoriel est présenté. On parle également de produit scalaire naturel ou usuel.

Dans $\mathbb {R} ^{n}$ [modifier | modifier le code]

On appelle produit scalaire canonique de $\mathbb {R} ^{n}$ l'application qui, aux vecteurs $x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$ et $y=(y_{1},y_{2},\dots ,y_{n})$ de $\mathbb {R} ^{n}$ associe la quantité :

(x\mid y)=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}

.

Dans $\mathbb {C} ^{n}$ [modifier | modifier le code]

Sur $\mathbb {C} ^{n}$ , on considère le produit scalaire hermitien canonique donné par la formule :

(x\mid y)=\sum _{i=1}^{n}{\bar {x_{i}}}y_{i}

.

Dans des espaces de fonctions[modifier | modifier le code]

Dans certains espaces de fonctions (fonctions continues sur un segment ou fonctions de carré sommable, par exemple), le produit scalaire canonique est donné par la formule :

(f\mid g)=\int {\bar {f}}g

.

Dans ${\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {R} )$ [modifier | modifier le code]

Dans l'espace des matrices carrées de dimension $n$ à coefficients réels, le produit scalaire usuel est :

$(M\mid N)=\textstyle {Tr}(M{}^{T}N)$

où $Tr$ désigne la trace.

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Portail de l’algèbre

Dans R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} [modifier | modifier le code]

Dans C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} [modifier | modifier le code]

Dans des espaces de fonctions[modifier | modifier le code]

Dans M n ( R ) {\displaystyle {\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {R} )} [modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Dans $\mathbb {R} ^{n}$ [modifier | modifier le code]

Dans $\mathbb {C} ^{n}$ [modifier | modifier le code]

Dans ${\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {R} )$ [modifier | modifier le code]