Optimisation non linéaire

En optimisation, vue comme branche des mathématiques, l'optimisation non linéaire (en anglais : nonlinear programming – NLP) s'occupe principalement des problèmes d'optimisation dont les données, i.e., les fonctions et ensembles définissant ces problèmes, sont non linéaires, mais sont aussi différentiables autant de fois que nécessaire pour l'établissement des outils théoriques, comme les conditions d'optimalité, ou pour la bonne marche des algorithmes de résolution qui y sont introduits et analysés. Cette sous-discipline de l'optimisation, à la frontière mal définie et l'introduction un peu artificielle, a aussi son existence liée à la communauté de chercheurs qui se sont spécialisés sur ces sujets et au type de résultats qui ont pu être obtenus.^{[réf. souhaitée]}

Elle complémente l'optimisation non lisse (ou non différentiable), elle aussi liée à une communauté de chercheurs spécialisés.^{[réf. souhaitée]} Ces deux disciplines se rassemblent pour former ce que l'on appelle l'optimisation continue, qui jouxte, quant à elle, d'autres sous-disciplines telles que l'optimisation combinatoire (ou discrète), l'optimisation stochastique, etc.

Formulation mathématique[modifier | modifier le code]

On a une fonction $f:X\to R$ , avec $X\subseteq R^{n}$ . L'objectif est de déterminer le vecteur x défini par :

x\in X;\,f(x)=\min _{y\in X}f(y)

.

De façon équivalente, on peut rechercher la valeur pour laquelle f est maximale :

x\in X;\,f(x)=\max _{y\in X}f(y)

.

Méthodes de résolution[modifier | modifier le code]

Si la fonction est convexe ou concave, et l'ensemble des contraintes est convexe, alors il existe des méthodes spécialisées, appelées méthodes d'optimisation convexe.

Sinon, il existe plusieurs solutions. Par exemple, utilisant le principe de séparation et évaluation pour diviser et traiter séparément plusieurs paramètres.

L'algorithme peut également être arrêté avant d'aboutir, si on peut prouver qu'aucune solution ultérieure ne sera meilleure à un certain seuil de tolérance près. Les conditions de Karush-Kuhn-Tucker (KKT) garantissent qu'une solution ainsi obtenue est optimale.

On utilise des algorithmes de résolution tels que :

la méthode de Newton,
la méthode de quasi-Newton,
la méthode du gradient conjugué,
la recherche linéaire,
les régions de confiance,
la méthode de Nelder-Mead,
…

Contraintes[modifier | modifier le code]

Si les contraintes s'expriment sous la forme d'inégalités

h_{1}(x)\geq 0,\ h_{n}(x)\geq 0

on peut utiliser la méthode de la « barrière logarithmique »^[1]. Si ƒ est la fonction à minimiser, alors on définit la fonction

B(x)=f(x)-\mu \ln(h)

ainsi, lorsque $x$ se rapproche de la frontière, la valeur de $ln(h)$ tend vers $-\infty$ , ce qui pénalise la zone. On effectue plusieurs recherches en faisant tendre $μ$ vers 0.

Exemples[modifier | modifier le code]

En dimension 2[modifier | modifier le code]

Un problème simple peut être posé ainsi :

x₁ ≥ 0

x₂ ≥ 0

x₁² + x₂² ≥ 1

x₁² + x₂² ≤ 2

où l'on cherche à maximiser la fonction

f (x₁, x₂) = x₁ + x₂

En dimension 3[modifier | modifier le code]

On peut formuler un problème ainsi :

x₁² − x₂² + x₃² ≤ 2

x₁² + x₂² + x₃² ≤ 10

où l'on cherche à maximiser la fonction :

f(x₁, x₂, x₃) = x₁x₂ + x₂x₃

Notes et références[modifier | modifier le code]

↑ Numerical optimization, Mark S. Gockenbach, Michigan Tech

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Nonlinear programming » (voir la liste des auteurs).
(en) Avriel, Mordecai (2003), Nonlinear Programming: Analysis and Methods. Dover Publishing. (ISBN 0-486-43227-0).
(en) Bazaraa, Mokhtar et Shetty (1979), Nonlinear programming. Theory and algorithms. John Wiley & Sons. (ISBN 0-471-78610-1).
(en) Bertsekas, Dimitri (1999), Nonlinear Programming: 2^d Edition. Athena Scientific. (ISBN 1-886529-00-0).
(en) J. F. Bonnans, J. Ch. Gilbert, C. Lemaréchal, C. Sagastizábal (2006), Numerical Optimization - Theoretical and Numerical Aspects [détail des éditions]
(en) Bonnans, J. F et Shapiro, A. (2000), Perturbation analysis of optimization problems. Springer. (ISBN 978-0-387-98705-7).
(en) Nocedal, Jorge et Wright, Stephen (1999), Numerical Optimization. Springer. (ISBN 0-387-98793-2).

Liens externes[modifier | modifier le code]

Documentation[modifier | modifier le code]

(en) Nonlinear programming FAQ
(en) Mathematical Programming Glossary
(en) Nonlinear Programming Survey OR/MS Today

Implémentations[modifier | modifier le code]

(en) AIMMS Optimization Modeling AIMMS — include nonlinear programming in industry solutions ;
(en) AMPL solver software ;
(en) Artelys Knitro - solveur spécialisé dans la résolution de problèmes d'optimisation non linéaire de grande dimension (version d'essai disponible);
(en) GAMS General Algebraic Modeling System.

[1] Numerical optimization, Mark S. Gockenbach, Michigan Tech

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