Méthode de Halley
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En analyse numérique, la méthode de Halley est un algorithme de recherche d'un zéro d'une fonction utilisé pour les fonctions d'une variable réelle dérivables deux fois et à dérivée seconde continue (i.e. C2). La méthode, présentée par l'astronome Edmond Halley[1], est une généralisation de la méthode de Newton, à convergence cubique.
Énoncé[modifier | modifier le code]
Soit f une fonction C² et a un zéro de f. La méthode de Halley consiste à itérer
![{\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {2f(x_{n})f'(x_{n})}{2{[f'(x_{n})]}^{2}-f(x_{n})f''(x_{n})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/142614c0378a1d61cb623c1352bf85b6b7bc4397)
à partir d'une valeur x0 proche de a.
Au voisinage de a, la suite vérifie :
- ,
avec K > 0 ; ce qui signifie que la convergence est donc (au pire) cubique.
Déduction[modifier | modifier le code]
La formule se déduit par exemple de la méthode de Newton appliquée à la fonction :
- ,
avec
![{\displaystyle g'(x)={\frac {2{[f'(x)]}^{2}-f(x)f''(x)}{2f'(x){\sqrt {f'(x)}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88dfe10fa56600f9202baa615d5c82674ceadb0c)
d'où le résultat. Si f′(c) = 0, cela ne s'applique que si g peut être prolongée en c.
Notes et références[modifier | modifier le code]
- Edmond Halley, « A new, exact, and easy method of finding the roots of any equations generally, and that without any previous reduction », Philosophical Transaction of the Royal Society, London, vol. 18, , p. 136-145
Voir aussi[modifier | modifier le code]
Liens internes[modifier | modifier le code]
Liens externes[modifier | modifier le code]
- (en) Eric W. Weisstein, « Halley's Method », sur MathWorld
- (en) Newton's method and high order iterations, Pascal Sebah et Xavier Gourdon, 2001
