Générateur infinitésimal

Un générateur infinitésimal est un outil de calcul stochastique, utilisé notamment pour les processus de Markov à temps continu.

Dans les chaînes de Markov à temps continu

• Soit le processus stochastique $\{X(t),t\geq 0\}$ à temps continu et à états discrets.
  • Soit $\tau _{i}$ la variable aléatoire désignant le temps que passe le processus à l'état $i$ avant de passer dans un autre état. Les chaînes de Markov à temps continu sont des processus stochastiques qui doivent (entre autres) vérifier la propriété de non-vieillissement :
    $P[\tau _{i}>s+t|\tau _{i}>t]=P[\tau _{i}>s],$
    ce qui signifie que le temps qu'il reste à passer dans un état ne dépend pas du temps déjà passé dans cet état.
    De cette propriété on peut déduire que dans une chaîne de Markov à temps continu les variables aléatoires $\tau _{i}$ suivent des lois exponentielles (car celles-ci sont les seules lois de probabilités continues vérifiant la propriété de non-vieillissement).
  • On notera $p_{ij}(t)$ la probabilité que partant de l'état $i$ à un instant $s$, on soit dans $j$ à l'instant $t+s$. C'est-à-dire :

$p_{ij}(t)=P[X(t+s)=j|X(s)=i]=P[X(t)=j|X(0)=i].$

Les fonctions $p_{ij}(t)$ sont appelées « fonctions de transition de la chaîne », et ont la propriété :

Pour tout i, $\sum _{j=0}^{\infty }p_{ij}(t)=1$ (c'est-à-dire que l'on doit forcément être dans un des états au temps t.)

Par ailleurs ces fonctions vérifient les équations de Chapman-Kolmogorov continues.