Forme locale

En géométrie différentielle, la forme locale d'une courbe plane est la grandeur qui caractérise sa forme en un point comme le rayon de courbure caractérise la courbure d'un arc. Cette grandeur est invariante par homothétie en plus d'être invariante par translation et rotation comme le sont le rayon de courbure ou la courbure. Pour une courbe plane, la forme locale est définie en tout point qui n'est pas un point d'inflexion, sous réserve que la courbe ne contienne pas de segment de droite et ait des propriétés de dérivabilité suffisantes.

Représentations d'une courbe plane

Représentations paramétriques usuelles

Avant de définir la forme locale, il est nécessaire de définir les représentations utilisées pour la courbe. Une courbe peut être définie paramétriquement comme l'ensemble des points d'abscisses $x(t)$ et d'ordonnées $y(t)$ pour $t$ appartenant à $[a,b]$.

Les arcs de courbe considérés dans la suite ont des représentations paramétriques $(x=x(t),y=y(t))$ possédant les propriétés suivantes :

• $x(t)$ et $y(t)$ sont dérivables jusqu'à l'ordre trois.
• Le vecteur dérivé premier est non nul. (Pas de point stationnaire, et en particulier pas de point de rebroussement.)
• Le vecteur dérivé second n'est pas lié au vecteur dérivé premier, sauf en des points isolés.

Ce sont là des conditions suffisantes pour définir abscisses curvilignes, tangentes à la courbe et rayons de courbure.

Représentation par l'abscisse curviligne

Les relations $(s=s(t),q=q(t))$ où $s(t)$ est l'abscisse curviligne et où $q(t)$ est l'angle de la tangente à la courbe avec l'axe des abscisses définissent une autre représentation possible de la courbe. C'est celle-ci qui sera principalement utilisée.

Ces représentations paramétriques $(x(t),y(t))$ et $((s(t),q(t))$ sont liées par les relations :

$s(t)=\int \limits _{t_{0}}^{t}(x'^{2}+y'^{2})^{\frac {1}{2}}~dt$ avec $t_{0}$ origine fixée arbitrairement

$q(t)=\int \limits _{t_{0}}^{t}{\frac {y''x'-y'x''}{x'^{2}+y'2}}~dt$ avec $x'={\frac {dx}{dt}}{\text{ et }}x''={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}$

Paramétrage par l'abscisse angulaire.

Pour définir la forme locale, au lieu de paramétrer la courbe par la variable $t$, on la paramètre par l'abscisse angulaire, une quantité qui ne dépend ni de l'échelle de la courbe, ni de l'ensemble de la courbe. L'abscisse angulaire le long de la courbe, si on compte positivement les abscisses angulaires dans le sens des t croissants, est définie par :

$T(t)=\int \limits _{t_{0}}^{t}\left|{\frac {dq}{dt}}\right|~dt$ où :

• $t_{0}$ définit l'origine des abscisses angulaires.
• $T(t)$ est une fonction strictement croissante si l'arc de courbe considéré ne contient pas de segment de droite ni de point d'inflexion.

Sous ces conditions, on peut paramétrer la courbe par $T$ au lieu de $t$. $|T(t)|$ est appelée la longueur angulaire de la courbe entre les points $[x(t_{0}),y(t_{0})]$ et $[x(t),y(t)]$.

De cette définition, il se déduit :

${\frac {dT}{dt}}=\left|{\frac {dq}{dt}}\right|$ soit ${\frac {dq}{dt}}={\pm }1$

Pour une courbe sans point d'inflexion, $T$ est l'angle de la tangente à la courbe (une origine ayant été définie par le choix de $t_{0}$).

Expression de la forme locale

Pour une courbe définie par : $s=s(T)$ et $q=q(T)$

La forme locale en $T$ de la courbe est définie par le couple de valeurs :

${\left({\frac {\frac {d^{2}s}{dT^{2}}}{\frac {ds}{dT}}}{\frac {dq}{dT}}~,~{\frac {dq}{dT}}\right)}$ avec ${\frac {dq}{dT}}={\pm }1$

Par facilité de langage, la valeur : $f(T)={\frac {\frac {d^{2}s}{dT^{2}}}{\frac {ds}{dT}}}{\frac {dq}{dT}}$ est appelée forme locale en $T$, ou simplement forme au point d'abscisse $T$.

La forme locale s'exprime en rd^-1.

Pour pouvoir définir cette grandeur, il faut que la courbe soit paramétrable par $T$ (c'est-à-dire ne contienne ni segment de droite ni point d'inflexion), et, soit dérivable par rapport à $T$.

Remarque : $f(T)$ peut aussi s'écrire :

$f(T)={\frac {\frac {dr}{dT}}{r}}\,{\frac {dq}{dT}}$ où $r={\frac {ds}{dq}}$ est le rayon de courbure.

En effet :

${\frac {dr}{dT}}={\frac {d\left({\frac {ds}{dq}}\right)}{dT}}={\frac {d\left({\frac {ds}{dT}}{\frac {dT}{dq}}\right)}{dT}}={\frac {d^{2}s}{dT^{2}}}{\frac {dT}{dq}}$

et

$r={\frac {ds}{dq}}={\frac {ds}{dT}}\,{\frac {dT}{dq}}$

La première expression donnée pour $f(T)$ s'en déduit immédiatement.

Invariance de la forme locale

• Lors de la transformation d'une courbe par une homothétie, ${\frac {ds}{dT}}$ est multiplié par le rapport de l'homothétie. Il en est de même de $d^{2}s/dT^{2}$ donc ${\frac {d^{2}s/dT^{2}}{ds/dT}}$ et $f(T)$ sont invariants par homothétie. Pour apprécier l'invariance par homothétie, il est possible aussi raisonner sur l'expression : $f(T)={\frac {(dr/dT)}{r}}~{\frac {dq}{dT}}$
• Le signe de la quantité ${\frac {d^{2}s/dT^{2}}{ds/dT}}$ est dépendant du sens de parcours de la courbe. En considérant que $f(T)$ est égal au produit de cette expression par ${\frac {dq}{dT}}$ on s'affranchit de cette dépendance.
• Soit une courbe caractérisée par $f(T)$ et ${\frac {dq}{dT}}$, sa courbe symétrique (par rapport à une droite) aura pour caractéristique $-f(t)$ et $-{\frac {dq}{dT}}$.

Reconstruction d'une courbe à partir de sa forme locale

Abscisse curviligne en fonction de la forme locale

Pour montrer que si $f(T)$ et ${\frac {dq}{dT}}$ existent, elles caractérisent complètement la forme de la courbe, on va exprimer $s(t)$ et $q(t)$ en fonction de $f(T)$ et ${\frac {dq}{dT}}$.

$f(T)={\frac {(dr/dT)}{r(T)}}~{\frac {dq}{dT}}$

Comme ${\frac {dq}{dT}}=\pm 1$, on a $f(T){\frac {dq}{dT}}={\frac {dr/dT}{r(T)}}$

Ainsi, ${\begin{aligned}\int \limits _{T_{0}}^{T}f(T){\frac {dq}{dT}}dT~&=~\int \limits _{T_{0}}^{T}{\frac {dr/dT}{r(T)}}dT\\&=~ln(\left|r(T)\right|)-ln(\left|r(T_{0})\right|)\end{aligned}}$

D'où :

$\left|r(T)\right|=\left|r(T_{0})\right|\,\exp {\bigl (}\int \limits _{T_{0}}^{T}f(T){\frac {dq}{dT}}~dT{\bigr )}$

D'autre part :

$s(T)=\int \limits _{T_{1}}^{T}{\frac {ds}{dT}}\,dT$

Si on oriente la courbe dans le sens des $T$ croissants, alors ${\frac {ds}{dT}}>0$ et on peut donc écrire :

${\begin{aligned}s(T)&=\int \limits _{T_{1}}^{T}\left|{\frac {ds}{dT}}\right|\,dT\\&=\int \limits _{T_{1}}^{T}\left|r(T)\right|\,dT\end{aligned}}$

Donc :

$s(T)=\int \limits _{T_{1}}^{T}\left|r(T_{0})\right|\,\exp {\biggl (}\int \limits _{T_{0}}^{T}f(T){\frac {dq}{dT}}~dT{\biggr )}~dT$

• Le choix de $T_{1}$ détermine l'origine des abscisses curvilignes ;
• Le choix de $r(T_{0})$ détermine la taille de la courbe.

D'autre part :

$q(T)=\int \limits _{T_{2}}^{T}{\frac {dq}{dT}}\,dT~+~q_{2}$ $q2$ étant l'angle de la tangente au point défini par $T2$.

Plus simplement, si $T_{0}$ est pris comme origine des abscisses curvilignes, si $r(T_{0})$; est le rayon de courbure en $T_{0}$ et si $q0$ est l'angle de la tangente en $T_{0}$, alors :

$s(T)=\left|r(T_{0})\right|\,\int \limits _{T_{0}}^{T}\,\exp {\biggl (}\int \limits _{T_{0}}^{T}f(T){\frac {dq}{dT}}~dT{\biggr )}~dT$

$q(T)=\int \limits _{T_{0}}^{T}{\frac {dq}{dT}}\,dT~+~q_{0}$

La forme de la courbe de représentation $(s=s(T),q=q(T))$ est donc entièrement définie par la connaissance de $f(T)$ et de ${\frac {dq}{dT}}(T)$.

Coordonnées cartésiennes en fonction de la forme locale

$x(T)$ et $y(T)$ peuvent s'exprimer en fonction de $f(T)$ et ${\frac {dq}{dT}}$.

$x(s)=\int \limits _{s_{0}}^{s}\cos(q(s))\,ds~+~x_{0}$

$y(s)=\int \limits _{s_{0}}^{s}\sin(q(s))\,ds~+~y_{0}$

Ou encore :

$x(T)=\int \limits _{T_{0}}^{T}\cos(q(T))\,{\frac {ds}{dT}}(T)\,dT~+~x_{0}$

$y(T)=\int \limits _{T_{0}}^{T}\sin(q(T))\,{\frac {ds}{dT}}(T)\,dT~+~y_{0}$

Or

${\frac {ds}{dT}}(T)=\left|r(T_{0})\right|~\exp {\biggl (}\int \limits _{T_{0}}^{T}f(T){\frac {dq}{dT}}\,dT{\biggr )}$

Donc : (1)

${x(T)=\left|r(T_{0})\right|~\int \limits _{T_{0}}^{T}{\bigg [}\cos {\biggl (}\int \limits _{T_{0}}^{T}{\frac {dq}{dT}}dT\,+\,q_{0}{\biggr )}\exp {\biggl (}\int \limits _{T_{0}}^{T}f(T){\frac {dq}{dT}}{\biggr )}{\bigg ]}dT~+~x_{0}}$

${y(T)=\left|r(T_{0})\right|~\int \limits _{T_{0}}^{T}{\bigg [}\sin {\biggl (}\int \limits _{T_{0}}^{T}{\frac {dq}{dT}}dT\,+\,q_{0}{\biggr )}\exp {\biggl (}\int \limits _{T_{0}}^{T}f(T){\frac {dq}{dT}}{\biggr )}{\bigg ]}dT~+~y_{0}}$

Conditions d'existence, calcul de la forme locale

Il a été montré ci-dessus qu'il est possible de caractériser localement la forme d'une courbe par :

$f(T)={\frac {(dr/dT)}{r}}\,{\frac {dq}{dT}}$et ${\frac {dq}{dT}}$

Voyons maintenant comment calculer pratiquement ces valeurs pour un arc de courbe défini par $(x(t),y(t))$ :

On a :

$f(T)={\frac {dr/dT}{r}}{\frac {dq}{dT}}={\frac {1}{r}}{\frac {dr/dT}{dq/dT}}$

Si $t$ est une fonction strictement monotone de $T$, on peut effectuer le changement de variable $t=t(T)$ on obtient :

$f(t)={\frac {1}{r(t)}}{\frac {dr/dt}{dq/dt}}$

$f(t)$ peut être calculé à partir des relations ci-dessous.

Si $x',x'',x'''$ ... représentent les dérivées premières, secondes et troisièmes par rapport à $t$.

Soit $s$ l'abscisse curviligne, on a :

$ds=k\,((x')^{2}+(y')^{2})^{1/2}\,dt$ avec $k=+1$ ou $k=-1$.

Soit $q$ l'angle de la tangente à la courbe, avec l'axe des abscisses, on a :

$\tan(q)=y'/x'$

Quelques calculs permettent d'en déduire : (2)

${{\frac {dq}{dT}}={\frac {y''x'-y'x''}{x'^{2}+y'^{2}}}}$

${f(t)={\frac {3(x'x''+y'y'')(x'y''-y'x'')-(x'^{2}+y'^{2})(x'y'''-y'x''')}{(x'y''-y'x'')^{2}}}}$

Il est difficile d'effectuer le changement de variable pour exprimer $f$ en fonction de $T$ plutôt que $t$, on laisse donc l'expression sous cette forme.

Remarques :

• La forme locale n'est pas définie pour une droite ou un segment de droite (pour une droite ou un segment de droite $(x'y''-y'x'')$ et $(x'y'''-y'x''')$ sont nuls en tout point).
• En tout point d'un cercle, la forme locale a pour valeur $0$.
• Lorsqu'on se rapproche d'un point d'inflexion, $(x'y''-y'x'')$ tend vers $0$, donc on peut dire que f (t) tend vers plus ou moins l'infini, sauf si le vecteur dérivé troisième est lié au vecteur dérivé premier $(x'y'''-y'x'''=0)$, auquel cas, il faudrait un examen plus détaillé de la limite de $f(t)$.

Exemples

Forme d'une ellipse

Ellipse et la représentation de sa forme locale

Soit l'ellipse définie par :

$x=a\cos(t)$

$y=b\sin(t)$

En utilisant les relations (2) établies ci-dessus, on calcule :

$f(t)={\frac {3\sin(2t)(a^{2}-b^{2})}{2ab}}$

${\frac {dq}{dT}}={\frac {ab}{a^{2}\sin ^{2}(t)+b^{2}\cos ^{2}(t)}}$

Pour exprimer la forme en fonction de T on a calculé numériquement l'intégrale

$T(t)=\int \limits _{0}^{t}\left|{\frac {dq}{dt_{1}}}\right|\,dt_{1}$

et on a effectué le changement de variable (expression de $f$ et ${\frac {dq}{dT}}$ en fonction de $T$ au lieu de $t$).

La représentation graphique ci-contre est obtenue pour $a=3$ et $b=1$.

Sur la figure les courbes représentant $f(t)$ et $f(T)$ sont représentées en vert et sont désignées par clf.

Forme d'une parabole

Soit la parabole définie par :

${\begin{aligned}x&=t\\y&=bt^{2}\end{aligned}}$

En utilisant les relations (2) établies ci-dessus, on calcule :

$f(t)=6bt$

${\frac {dq}{dT}}={\frac {2b}{4b^{2}t^{2}+1}}$

De cette dernière équation, on déduit :

$t=\tan(T)/(2b){\text{ pour }}T\in ]-\pi /2,\pi /2[$ (si on prend l'origine pour les abscisses angulaires en $t=0$).

On peut donc exprimer la forme locale en fonction de l'abscisse angulaire $T$ :

$f(T)=3\tan(T){\text{ pour }}T\in ]-\pi /2,\pi /2[$

Forme constante

Spirale et la représentation de sa forme locale

Soit la forme définie par :

$f(T)=a$, $a$ constante réelle

${\frac {dq}{dT}}(T)=1$, pour tout $T$

Les relations (1) donnent une représentation $x(t),y(t)$ correspondant à cette définition.

En paramétrant par l'abscisse angulaire et en prenant :

$t_{0}=0{\text{ et }}q_{0}=0$,

$x_{0}={\frac {a\left|r(0)\right|}{1+a^{2}}}{\text{ et }}y_{0}={\frac {-\left|r(0)\right|}{1+a^{2}}}$.

Les relations (1) donnent :

$x={\frac {\left|r(0)\right|}{1+a^{2}}}\,e^{at}(a\cos(t)+\sin(t))$

$y={\frac {\left|r(0)\right|}{1+a^{2}}}\,e^{at}(-\cos(t)+a\sin(t))$

La représentation graphique ci-contre, est obtenue pour $a=0,2$ et $r(0)=1,04$.

Dans ces conditions :

$x=e^{0{,}2t}~(\,0{,}2\cos(t)+\sin(t)\,)$

$y=e^{0{,}2t}~(\,-\cos(t)+0{,}2\sin(t)\,)$

Lien externe

• Michel Fabre, « La caractéristique locale de forme » [PDF], Traitement du Signal, 1990 (version du 3 mars 2016 sur Internet Archive), vol. 7, n^o 6, p. 531-542