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En mathématiques et plus particulièrement en analyse , la fonction maximale de Hardy-Littlewood est un opérateur qui associe à toute fonction localement intégrable f en tout point x sur ℝn borne supérieure des valeurs moyennes de |f | sur les boules centrées en x . La notion de fonction maximale est intervenue pour la première fois dans un article publié en 1930 par Godfrey Harold Hardy et John Edensor Littlewood [ 1]
À toute fonction localement intégrable
f
∈
L
loc
1
(
R
n
)
{\displaystyle f\in \mathrm {L} _{\text{loc}}^{1}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}
fonction maximale de Hardy-Littlewood
M
f
:
R
n
→
[
0
,
+
∞
]
{\displaystyle Mf:\mathbb {R} ^{n}\to [0,+\infty ]}
M
f
(
x
)
=
sup
r
>
0
1
λ
n
(
B
(
x
,
r
)
)
∫
B
(
x
,
r
)
|
f
(
t
)
|
d
λ
n
(
t
)
{\displaystyle Mf(x)=\sup _{r>0}{\frac {1}{\lambda _{n}\left(B(x,r)\right)}}\int _{B(x,r)}|f(t)|\,\mathrm {d} \lambda _{n}(t)}
où B (x , r )n x et de rayon r > 0λn désigne la mesure de Lebesgue sur ℝn
La fonction maximale de Hardy-Littlewood associée à toute fonction localement intégrable est semi-continue inférieurement.
Démonstration
Il suffit de montrer que chacune des fonctions
x
↦
1
λ
n
(
B
(
x
,
r
)
)
∫
B
(
x
,
r
)
|
f
(
t
)
|
d
λ
n
(
t
)
{\displaystyle x\mapsto {\frac {1}{\lambda _{n}\left(B(x,r)\right)}}\int _{B(x,r)}|f(t)|\mathrm {d} \lambda _{n}(t)}
(pour r > 0
x
↦
∫
B
(
x
,
r
)
|
f
(
t
)
|
d
λ
n
(
t
)
=
∫
1
B
(
x
,
r
)
(
t
)
|
f
(
t
)
|
d
λ
n
(
t
)
{\displaystyle x\mapsto \int _{B(x,r)}|f(t)|\mathrm {d} \lambda _{n}(t)=\int 1_{B(x,r)}(t)|f(t)|\,\mathrm {d} \lambda _{n}(t)}
l'est.
Or cette application est même continue, par convergence dominée .
Cette fonction Mf n'est jamais intégrable , sauf si f = 0f intégrable telle que Mf ne soit pas localement intégrable[ 2] Pour toute application intégrable f sur ℝn c > 0, on a
λ
n
(
[
M
f
≥
c
]
)
≤
3
n
‖
f
‖
1
c
{\displaystyle \lambda _{n}\left([Mf\geq c]\right)\leq 3^{n}{\frac {\|f\|_{1}}{c}}}
Mf est finie presque partout ).
Pour toute fonction réelle croissante F sur un intervalle réel [a , b ] on a, de façon analogue[réf. souhaitée]
λ
1
(
[
G
≥
c
]
)
≤
2
F
(
b
)
−
F
(
a
)
c
,
pour
G
(
x
)
=
sup
h
≠
0
x
+
h
∈
[
a
,
b
]
F
(
x
+
h
)
−
F
(
x
)
h
.
{\displaystyle \lambda _{1}\left([G\geq c]\right)\leq 2{\frac {F(b)-F(a)}{c}},{\text{ pour }}G(x)=\sup _{h\neq 0 \atop x+h\in [a,b]}{\frac {F(x+h)-F(x)}{h}}.}
Pour toute fonction réelle croissante continue F sur [a , b ] ,
λ
1
(
[
G
≥
c
]
)
≤
F
(
b
)
−
F
(
a
)
c
,
{\displaystyle \lambda _{1}\left([G\geq c]\right)\leq {\frac {F(b)-F(a)}{c}},}
G étant l'une des quatre dérivées de Dini de F .
Démonstrations
Première inégalité.d → c – , il suffit de montrer que
∀
d
>
0
,
λ
n
(
[
M
f
>
d
]
)
≤
3
n
‖
f
‖
1
/
d
{\displaystyle \forall d>0,\lambda _{n}\left([Mf>d]\right)\leq 3^{n}\|f\|_{1}/d}
régularité intérieure , de montrer que pour tout compact K inclus dans [Mf > d ] ,
λ
n
(
K
)
≤
3
n
‖
f
‖
1
/
d
.
{\displaystyle \lambda _{n}(K)\leq 3^{n}\|f\|_{1}/d.}
x de K , il existe un rayon rx > 0
1
λ
n
(
B
(
x
,
r
x
)
)
∫
B
(
x
,
r
x
)
|
f
(
t
)
|
d
λ
n
(
t
)
>
d
.
{\displaystyle {\frac {1}{\lambda _{n}\left(B(x,r_{x})\right)}}\int _{B(x,r_{x})}|f(t)|\mathrm {d} \lambda _{n}(t)>d.}
K est recouvert par un nombre fini de telles boules et l'on peut, d'après le lemme de recouvrement de Vitali dans le cas fini, choisir parmi elles des boules
(
B
(
x
,
r
x
)
)
x
∈
X
{\displaystyle \left(B(x,r_{x})\right)_{x\in X}}
K
⊂
⋃
x
∈
X
B
(
x
,
3
r
x
)
.
{\displaystyle K\subset \bigcup _{x\in X}B(x,3r_{x}).}
λ
n
(
K
)
≤
λ
n
(
⋃
x
∈
X
B
(
x
,
3
r
x
)
)
≤
∑
x
∈
X
λ
n
(
B
(
x
,
3
r
x
)
)
=
3
n
∑
x
∈
X
λ
n
(
B
(
x
,
r
x
)
)
≤
3
n
d
∑
x
∈
X
∫
B
(
x
,
r
x
)
|
f
(
t
)
|
d
λ
n
(
t
)
≤
3
n
‖
f
‖
1
d
{\displaystyle \lambda _{n}\left(K\right)\leq \lambda _{n}\left(\bigcup _{x\in X}B(x,3r_{x})\right)\leq \sum _{x\in X}\lambda _{n}\left(B(x,3r_{x})\right)=3^{n}\sum _{x\in X}\lambda _{n}\left(B(x,r_{x})\right)\leq {\frac {3^{n}}{d}}\sum _{x\in X}\int _{B(x,r_{x})}|f(t)|\mathrm {d} \lambda _{n}(t)\leq {\frac {3^{n}\|f\|_{1}}{d}}}
Deuxième inégalité.d > 0K inclus dans [ G > d ] ,
λ
(
K
)
≤
2
(
F
(
b
)
−
F
(
a
)
)
/
d
.
{\displaystyle \lambda (K)\leq 2(F(b)-F(a))/d.}
x de K , il existe un réel hx non nul tel que
F
(
x
+
h
x
)
−
F
(
x
)
h
x
>
d
.
{\displaystyle {\frac {F(x+h_{x})-F(x)}{h_{x}}}>d.}
ε > 0 fixé, Jx l'intervalle fermé d'extrémités x + hx x – εhx x + hx x ).K est recouvert par une famille finie
(
J
x
)
x
∈
X
{\displaystyle (J_{x})_{x\in X}}
Jx superflus, supposer qu'un point n'appartient jamais à plus de deux d'entre eux (car si trois intervalles ont un point commun, l'un des trois est inclus dans la réunion des deux autres). On a alors :
λ
(
K
)
≤
∑
x
∈
X
λ
(
J
x
)
=
(
1
+
ε
)
∑
x
∈
X
|
h
x
|
≤
1
+
ε
d
∑
x
∈
X
|
F
(
x
+
h
x
)
−
F
(
x
)
|
≤
1
+
ε
d
2
(
F
(
b
)
−
F
(
a
)
)
,
{\displaystyle \lambda (K)\leq \sum _{x\in X}\lambda (J_{x})=(1+\varepsilon )\sum _{x\in X}|h_{x}|\leq {\frac {1+\varepsilon }{d}}\sum _{x\in X}|F(x+h_{x})-F(x)|\leq {\frac {1+\varepsilon }{d}}2(F(b)-F(a)),}
F et au fait que les Jx se chevauchent au plus par deux. Ainsi,
∀
ε
>
0
,
λ
(
K
)
≤
2
(
1
+
ε
)
(
F
(
b
)
−
F
(
a
)
)
/
d
donc
λ
(
K
)
≤
2
(
F
(
b
)
−
F
(
a
)
)
/
d
.
{\displaystyle \forall \varepsilon >0,\lambda (K)\leq 2(1+\varepsilon )(F(b)-F(a))/d\quad {\text{donc}}\quad \lambda (K)\leq 2(F(b)-F(a))/d.}
La troisième inégalité peut se démontrer à l'aide du lemme du soleil levant [ 3] théorème de recouvrement de Vitali [ 4]
En gardant les notations précédentes, on peut associer à toute mesure de Borel μ sur ℝn M μ
M
μ
(
x
)
=
sup
r
>
0
μ
(
B
(
x
,
r
)
)
λ
n
(
B
(
x
,
r
)
)
.
{\displaystyle M\mu (x)=\sup _{r>0}{\frac {\mu \left(B(x,r)\right)}{\lambda _{n}\left(B(x,r)\right)}}.}
La propriété de semi-continuité inférieure et, si μ est finie , l'inégalité maximale, sont alors encore vraies et se démontrent de la même manière.
↑ (en) G. H. Hardy et J. E. Littlewood , « A maximal theorem with function-theoretic applications », Acta Mathematica vol. 54, 1930 , p. 81–116↑ (en) Frank Jones, Lebesgue Integration on Euclidean Space , Jones & Bartlett, 2001 , 2e éd. , 588 p. (ISBN 978-0-7637-1708-7 lire en ligne ) , p. 451-452↑ (en) Terence Tao , An Introduction to Measure Theory , Providence, AMS , 2011 , 206 p. (ISBN 978-0-8218-6919-2 lire en ligne ) , p. 130-131↑ (en) Andrew M. Bruckner (en) Real Analysis , 1997 , 713 p. (ISBN 978-0-13-458886-5 lire en ligne ) , p. 264-266 
![{\displaystyle Mf:\mathbb {R} ^{n}\to [0,+\infty ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e579b2b670c0db9858b3382378358c7652c9ad73)
![{\displaystyle \lambda _{n}\left([Mf\geq c]\right)\leq 3^{n}{\frac {\|f\|_{1}}{c}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9006e8fac51c936c344cba0715b63f8916540323)
![{\displaystyle \lambda _{1}\left([G\geq c]\right)\leq 2{\frac {F(b)-F(a)}{c}},{\text{ pour }}G(x)=\sup _{h\neq 0 \atop x+h\in [a,b]}{\frac {F(x+h)-F(x)}{h}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/745c76ac7980d235acd42e740c343404ae0db81d)
![{\displaystyle \lambda _{1}\left([G\geq c]\right)\leq {\frac {F(b)-F(a)}{c}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01fa02cc4254c5fbd04a28874409acc9c0726867)
![{\displaystyle \forall d>0,\lambda _{n}\left([Mf>d]\right)\leq 3^{n}\|f\|_{1}/d}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89c7e75919de68486b9f564317d6522b31b188c8)
