Fibré tangent

Deux manières de représenter le fibré tangent d'un cercle : tous les espaces tangents (en haut) sont regroupés de manière continue et sans se recouvrir (en bas).

En mathématiques, et plus précisément en géométrie différentielle, le fibré tangent TM associé à une variété différentielle M est la somme disjointe de tous les espaces tangents en tous les points de la variété, soit :

${\begin{aligned}TM&=\bigsqcup _{x\in M}T_{x}M\\&=\bigcup _{x\in M}\left\{x\right\}\times T_{x}M\\&=\bigcup _{x\in M}\left\{(x,v)\mid v\in T_{x}M\right\}\\&=\left\{(x,v)\mid x\in M,\,v\in T_{x}M\right\}\end{aligned}}$

où $T_{x}M$est l'espace tangent de M en x. Un élément de TM est donc un couple (x, v) constitué d'un point x de M et d'un vecteur v tangent à M en x.

Le fibré tangent peut être muni d'une topologie découlant naturellement de celle de M. Sous cette topologie, il possède une structure de variété différentielle prolongeant celle de M ; c'est un espace fibré de base M, et même un fibré vectoriel.

Utilité

Le fibré tangent apparait en particulier comme le domaine de définition de la dérivée d'une fonction différentiable sur M : si $f:M\rightarrow N$ est une application différentiable entre deux variétés différentielles M et N, alors sa dérivée est une fonction $Df:TM\rightarrow TN$.

Exemples

Supposons que $M$ soit une sous-variété de classe $C^{k}$ (k ≥ 1) et de dimension d de $\mathbb {R} ^{n}\,$ ; on peut voir alors $TM$ comme l'ensemble des couples $(x,v)\in \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}$ formés d'un point $x\in M$et d'un vecteur $v$ tangent à $M$ en $x$. (Passer à $\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}$ permet de voir les espaces tangents aux différents points comme des ensembles disjoints.)

On obtient ainsi une sous-variété de classe $C^{k-1}$ et de dimension 2d de $\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}$. En effet, pour tout point de $M$, il existe un ouvert $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ et une submersion $f:U\mapsto \mathbb {R} ^{n-d}$ (de classe $C^{k}$) tels que $U\cap M=f^{-1}(0)$. On en déduit que

$T(U\cap M)=\{(x,v)\in U\times \mathbb {R} ^{n},f(x)=0\ \mathrm {et} \ f^{\prime }(x)\cdot v=0\}$

Mais l'application $(x,v)\mapsto {\big (}f(x),f^{\prime }(x)\cdot v{\big )}$ est une submersion de classe $C^{k-1}$ de $U\times \mathbb {R} ^{n}$ dans $\mathbb {R} ^{2(n-d)}$

Exemple : Le fibré tangent au cercle $S^{1}=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2},x^{2}+y^{2}=1\}$ apparaît ainsi comme la sous-variété

$\{(x,y,X,Y)\in \mathbb {R} ^{4},x^{2}+y^{2}=1,xX+yY=0\}$.

Il est difféomorphe au cylindre $S^{1}\times \mathbb {R}$ (voir ci-contre).

En dimensions supérieures, il devient plus difficile de visualiser les fibrés tangents ; ainsi pour une variété de dimension 2, le fibré tangent correspondant est une variété de dimension 4. Ainsi dans le cas du théorème de la boule chevelue, le fibré tangent à la sphère est non trivial.

Topologie

On définit une topologie sur $TM$ en tant qu'espace fibré en se donnant pour chaque ouvert $U$ de $M$ une trivialisation locale

$\varphi _{U}\left\{{\begin{matrix}TM&\rightarrow &U\times V\\m&\mapsto &(P_{U}(m),v_{U}(m))\end{matrix}}\right.$

où $V$ est un espace vectoriel isomorphe à l'espace tangent à $M$ en n'importe quel $P\in U$ et pour chaque $m\in TM$, $v_{U}(m)$ appartient à l'espace tangent à $M$ en $P_{U}(m)$ .

Par ailleurs $\varphi _{U}$ doit satisfaire à la condition de recollement suivante : Si $P_{0}=P(m)\in U_{1}\cap U_{2}$ où $U_{1}\,$ et $U_{2}\,$ sont des ouverts associés à des cartes $x_{1}^{\mu }$ et $x_{2}^{\mu }$ alors on doit avoir (en notation de coordonnées pour les vecteurs $v_{U_{1}}$ et $v_{U_{2}}$)

$v_{U_{2}}^{\mu }(m)=\left.{\frac {\partial x_{2}^{\mu }}{\partial x_{1}^{\nu }}}\right|_{P_{0}}v_{U_{1}}^{\nu }(m)$

où on a adopté la convention de sommation d'indices répétés d'Einstein.

Champ de vecteurs

Un champ de vecteurs (ou champ vectoriel) est une fonction associant à chaque point d'une variété un vecteur tangent en ce point. Un tel champ de vecteurs est donc une fonction différentiable prenant ses valeurs dans le fibré tangent :

${\begin{aligned}V:M&\rightarrow TM\\x&\mapsto (x,V_{x})\end{aligned}}$

où $V_{x}\in T_{x}M$ est un vecteur de l'espace tangent à M en x. En d'autres termes ce champ est une section de l'espace fibré TM.

L'ensemble des champs vectoriels sur M est noté $\Gamma (TM)$ ou ${\mathfrak {X}}(M)$. Il peut être muni d'une opération d'addition définie par $(V+W)_{x}=V_{x}+W_{x}$ et d'une multiplication par une fonction f à valeurs réelles différentiable sur M : $(f\cdot V)_{x}=f(x)V_{x}$. Ces opérations lui donnent une structure de module sur l'anneau des fonctions différentiables à valeurs réelles sur M.

Un champ vectoriel local est un champ défini localement sur un ouvert U de M, associant à chaque point de U un vecteur de l'espace tangent correspondant. L'ensemble des champs de vecteurs locaux de M forme un faisceau des espaces vectoriels réels sur M.

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