Équation de Killing

L'équation de Killing est l'équation fondamentale satisfaite par un vecteur de Killing.

Elle énonce qu'un champ de vecteurs $\xi$ défini sur une variété riemannienne est un vecteur de Killing si la dérivée de Lie de la métrique riemannienne $g$ est nulle :

${\mathcal {L}}_{\xi }g=0\,$.

En termes de composantes dans un système de coordonnées donné, cette équation s'écrit :

$D_{a}\xi _{b}+D_{b}\xi _{a}=0\,$,

où D représente la dérivée covariante compatible avec la métrique.

Cette équation peut se réécrire en utilisant la forme symétrisée :

$D_{(a}\xi _{b)}=0\,$.

Elle peut alors être généralisée à un tenseur d'ordre arbitraire, appelé tenseur de Killing.

Voir aussi

• Vecteur de Killing
• Tenseur de Killing