Vitesse cosmique

La vitesse cosmique est une notion relative au domaine de l'astronautique.

En 1883, le scientifique russe Constantin Tsiolkovsky présentait dans son ouvrage L’Espace libre les concepts fondamentaux pour la construction de fusées à réaction comme unique moyen de quitter la gravité terrestre.

Tsiolkovsky introduisait trois vitesses minimales théoriques, appelées respectivement première, deuxième et troisième vitesse cosmique.

Ces notions peuvent se généraliser à toute planète d'un système planétaire et en particulier aux planètes du Système solaire.

Cas de la Terre[modifier | modifier le code]

Première vitesse cosmique[modifier | modifier le code]

La première vitesse cosmique représente la vitesse de satellisation minimale autour de la Terre. Vitesse minimale qu’il faut théoriquement communiquer à un corps, au départ de la Terre, pour le satelliser autour d’elle en orbite basse. Elle est déterminée par la relation

{\frac {v_{1}^{2}}{R}}={\frac {G\,M_{\oplus }}{R^{2}}}

,

où :

$R$ est le rayon de l'orbite, assimilé au rayon terrestre (6 370 km, bien qu'en réalité une orbite n'échappe au frottement de l'atmosphère terrestre que si elle est à une altitude supérieure à 200 km),
$M_{\oplus }$ est la masse de la Terre (environ 6 × 10²⁴ kg) ;
$G$ est la constante de gravitation (6,674 × 10⁻¹¹ m³/kg/s²)

Cette relation signifie que la force de gravitation exercée par la Terre ( $G\,M_{\oplus }\,m/R^{2}$ , m étant la masse du corps à satelliser) est exactement compensée par la force centrifuge ( $mv_{1}^{2}/R$ ) qui s'exerce sur le corps quand celui-ci est en orbite circulaire.

La première vitesse cosmique vaut ainsi

v_{1}={\sqrt {\frac {G\,M_{\oplus }}{D}}}

Avec D = R(Terre) + H(altitude par rapport au sol)

soit environ

v_{1}\simeq 7{,}9\;{\rm {km\;s^{-1}\simeq 28\,500\;{\rm {km\;h^{-1}}}}}

. C'est, comme indiqué, une vitesse qui tient insuffisamment compte de l'altitude réelle de satellisation.

Deuxième vitesse cosmique[modifier | modifier le code]

La deuxième vitesse cosmique correspond à la vitesse de libération d’un corps quittant la Terre. C’est la vitesse minimale au-delà de laquelle un corps peut s’éloigner définitivement de la Terre, en tout cas tant que l'on néglige la présence du Soleil et de notre galaxie. Elle est déterminée, avec les mêmes notations que précédemment, par la relation

{\frac {v_{2}^{2}}{2}}={\frac {G\,M_{\oplus }}{R}}

,

obtenue par intégration de l'énergie cinétique devant être acquise par le satellite pour que, quittant la Terre, il atteigne une orbite haute (pouvant être à l'infini). Cette équation où la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle de gravitation se compensent, confère une énergie totale nulle à la fusée, condition nécessaire à ce qu'elle puisse s'échapper de l'attraction terrestre.

La deuxième vitesse cosmique vaut ainsi :

v_{2}={\sqrt {\frac {2\,G\,M_{\oplus }}{R}}}={\sqrt {2}}\,v_{1}

soit environ

v_{2}\simeq 11{,}2\;{\rm {km\;s^{-1}\simeq 40\,300\;{\rm {km\;h^{-1}}}}}

.

Il n'y a pas ici d'ambiguïté sur la quantité R, qui correspond au rayon terrestre, puisque c'est de là qu'est lancé le corps. Cela diffère donc de la première vitesse cosmique où la quantité D pouvait représenter le rayon d'une orbite basse, légèrement supérieur (d'environ 3 %) au rayon terrestre. Cependant, cette deuxième vitesse étant obtenue par intégration (intégrale définie) depuis l'orbite du départ, il est possible de l'obtenir en deux fois et la somme de ces deux valeurs sera toujours la même : voir plus bas pour le calcul. Cela explique le fait que, en pratique, on commence souvent par une satellisation en orbite basse.

La vitesse de libération augmente avec la compacité de l'astre support, c'est-à-dire son rapport M/R. Par exemple, celle de Jupiter est de 59,5 km/s.

Troisième vitesse cosmique[modifier | modifier le code]

La troisième vitesse cosmique est définie comme étant la vitesse de libération d’un corps quittant le Système solaire depuis l'orbite terrestre.

Dans un référentiel héliocentrique, cette vitesse est donnée par la même relation que celle donnant la seconde vitesse cosmique, en remplaçant la masse de la Terre par celle du Soleil, et le rayon de la Terre par la distance moyenne Terre-Soleil :

v_{3}^{\prime }={\sqrt {\frac {2\,G\,M_{\odot }}{a}}}

avec

$a$ la distance moyenne Terre-Soleil, soit une unité astronomique, environ 149,6 millions de kilomètres ;
${M_{\odot }}$ la masse du Soleil soit 1,989 1 × 10³⁰ kg.

Soit une vitesse $v_{3}^{\prime }\simeq 42{,}1\;{\rm {km\;s^{-1}}}$ .

Il convient toutefois de bien préciser que cette valeur ne correspond pas à la définition de la troisième vitesse cosmique donnée au début de cette section, car elle est établie :

dans un référentiel héliocentrique,
pour un corps se trouvant initialement à la distance $a$ du Soleil,
en l'absence de la Terre, la gravité due à celle-ci étant ignorée dans le calcul.

La prise en compte de la gravité terrestre conduit à devoir rechercher la vitesse de libération dans le cadre du problème à trois corps restreint^[1]. Bien qu'il n'existe pas de solution sous forme analytique à ce problème, il est possible d'établir une expression approchée à l'aide de la méthode des coniques juxtaposées^[2].

La vitesse $v_{3}^{\prime }$ donnée ci-dessus étant exprimée dans un référentiel héliocentrique, elle devient dans un référentiel géocentrique $v_{\infty }=v_{3}^{\prime }-v_{\oplus }$ avec $v_{\oplus }={\sqrt {\frac {G\,M_{\odot }}{a}}}\simeq 29{,}7\;{\rm {km\;s^{-1}}}$ la vitesse moyenne de la Terre par rapport au Soleil.

Dans la méthode des coniques juxtaposées, $v_{\infty }$ est une approximation de l'excès de vitesse du corps lorsqu'il quitte la sphère d'influence de la Terre par rapport au Soleil.

En injectant la formule donnant $v_{3}^{\prime }$ dans celle de $v_{\infty }$ , cette vitesse géocentrique devient :

v_{\infty }=({\sqrt {2}}-1)\,v_{\oplus }

.

En faisant ensuite l'hypothèse que l'énergie potentielle spécifique est nulle sur la sphère d'influence, la conservation de l'énergie totale spécifique dans le référentiel géocentrique s'écrit :

{\frac {v_{3}^{2}}{2}}-{\frac {G\,M_{\oplus }}{R}}={\frac {v_{\infty }^{2}}{2}}

dans laquelle $v_{3}$ est la vitesse géocentrique qu'il est nécessaire de communiquer au corps depuis la surface de la Terre pour atteindre la vitesse $v_{\infty }$ sur la sphère d'influence de la Terre. Par suite :

v_{3}={\sqrt {{\frac {2\,G\,M_{\oplus }}{R}}+({\sqrt {2}}-1)^{2}\,{\frac {GM_{\odot }}{a}}}}

soit encore, en ré-introduisant la seconde vitesse cosmique $v_{2}$ et la vitesse orbitale de la Terre $v_{\oplus }$ :

v_{3}={\sqrt {v_{2}^{2}+({\sqrt {2}}-1)^{2}\,v_{\oplus }^{2}}}

La valeur obtenue $v_{3}\simeq 16{,}6\;{\rm {km\;s^{-1}}}$ est une approximation numérique de la troisième vitesse cosmique, suivant la définition donnée au début de cette section.

Cas général[modifier | modifier le code]

Les formules littérales ci-dessus donnant $v_{1}$ , $v_{2}$ et $v_{3}$ sont applicables dans le contexte plus général d'une planète située dans un système planétaire.

Dans ce cas :

$R$ est le rayon de l'orbite, au moins égal au rayon de la planète, augmenté éventuellement de l'épaisseur de son atmosphère si l'on veut échapper au frottement ;
$M_{\oplus }$ est la masse de la planète d'où est lancé le projectile ;
$a$ correspondant à la distance entre la planète et son étoile ;
$M_{\odot }$ est la masse de l'étoile autour de laquelle tourne la planète d'où est lancé le projectile ;
$G$ est la constante de gravitation, qui est réputée garder la même valeur dans tout l'Univers.

Notes et références[modifier | modifier le code]

↑ (en) Stanislaw Halas et Adrian Pacek, « Controversies about the value of the third cosmic velocity », Annales Universitatis Mariae Curie-Sklodowska, vol. LXVIII,‎ 2013, p. 13 (lire en ligne, consulté le 29 décembre 2014).
↑ Robert Guiziou, Cours de mécanique spatiale : Voyages Interplanétaires & Rendez-vous spatial, vol. 3, Université de la Méditerranée - Aix-Marseille II, coll. « DESS Air & Espace », 41 p. (lire en ligne), p. 12-19.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

[1] (en) Stanislaw Halas et Adrian Pacek, « Controversies about the value of the third cosmic velocity », Annales Universitatis Mariae Curie-Sklodowska, vol. LXVIII,‎ 2013, p. 13 (lire en ligne, consulté le 29 décembre 2014).

[2] Robert Guiziou, Cours de mécanique spatiale : Voyages Interplanétaires & Rendez-vous spatial, vol. 3, Université de la Méditerranée - Aix-Marseille II, coll. « DESS Air & Espace », 41 p. (lire en ligne), p. 12-19.

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